Discusión y resolución de un sistema con parámetro

**a) [1’25 puntos] Determina, si existen, los valores de $\alpha$ para los que el sistema dado tiene solución única.** Comenzamos escribiendo la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ del sistema: $$A = \begin{pmatrix} \alpha & 1 & 3 \\ 1 & 1 & -2 \\ -1 & 2 & 3+\alpha \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} \alpha & 1 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & -2 & -2 \\ -1 & 2 & 3+\alpha & 4+\alpha \end{pmatrix}$$ Para que el sistema tenga solución única, según el **Teorema de Rouché-Capelli**, el rango de la matriz $A$ debe ser igual al rango de la matriz ampliada $A^*$ e igual al número de incógnitas ($n=3$). Esto ocurre cuando el determinante de $A$ es distinto de cero. Calculamos $|A|$ mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} \alpha & 1 & 3 \\ 1 & 1 & -2 \\ -1 & 2 & 3+\alpha \end{vmatrix} = [\alpha(1)(3+\alpha) + (1)(2)(3) + (-1)(1)(-2)] - [3(1)(-1) + (-2)(2)(\alpha) + (3+\alpha)(1)(1)]$$ $$|A| = [\alpha^2 + 3\alpha + 6 + 2] - [-3 - 4\alpha + 3 + \alpha] = [\alpha^2 + 3\alpha + 8] - [-3\alpha]$$ $$|A| = \alpha^2 + 6\alpha + 8$$ 💡 **Tip:** El sistema tendrá solución única (Sistema Compatible Determinado) si y solo si $|A| \neq 0$.

Igualamos el determinante a cero para hallar los valores críticos: $$\alpha^2 + 6\alpha + 8 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$\alpha = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2} = \frac{-6 \pm 2}{2}$$ Las raíces son: $$\alpha_1 = \frac{-4}{2} = -2, \quad \alpha_2 = \frac{-8}{2} = -4$$ Por tanto, el sistema tiene solución única si $|A| \neq 0$, es decir, cuando $\alpha$ es distinto de $-2$ y $-4$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\alpha \in \mathbb{R} \setminus \{-2, -4\}}$$

**b) [1’25 puntos] Determina, si existen, los valores de $\alpha$ para los que el sistema dado tiene al menos dos soluciones. Halla todas las soluciones en dichos casos.** Que el sistema tenga "al menos dos soluciones" en un sistema lineal significa que tiene infinitas soluciones (**Sistema Compatible Indeterminado**). Esto ocurre cuando $Rango(A) = Rango(A^*) \lt 3$. Analizamos los valores obtenidos en el apartado anterior: **Caso $\alpha = -2$:** La matriz ampliada es: $$A^* = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & -2 & -2 \\ -1 & 2 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$ Sabemos que $|A| = 0$, por lo que $Rango(A) \lt 3$. Como el menor $\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -3 \neq 0$, entonces **$Rango(A) = 2$**. Comprobamos el rango de $A^*$ estudiando un menor de orden 3 que incluya la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} -2 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & -2 \\ -1 & 2 & 2 \end{vmatrix} = (-4 + 2 + 8) - (-4 + 8 + 2) = 6 - 6 = 0$$ Como el determinante es 0, el **$Rango(A^*) = 2$**. Al ser $Rango(A) = Rango(A^*) = 2 \lt 3$, por el **Teorema de Rouché-Capelli**, el sistema es **Compatible Indeterminado** (infinitas soluciones).

**Caso $\alpha = -4$:** La matriz ampliada es: $$A^* = \begin{pmatrix} -4 & 1 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & -2 & -2 \\ -1 & 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}$$ Sabemos que $|A| = 0$, por lo que $Rango(A) \lt 3$. Como el menor $\begin{vmatrix} -4 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -5 \neq 0$, entonces **$Rango(A) = 2$**. Comprobamos el rango de $A^*$: $$\begin{vmatrix} -4 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & -2 \\ -1 & 2 & 0 \end{vmatrix} = (0 + 2 + 8) - (-4 + 16 + 0) = 10 - 12 = -2 \neq 0$$ Como este determinante es distinto de cero, el **$Rango(A^*) = 3$**. Como $Rango(A) = 2 \neq Rango(A^*) = 3$, el sistema es **Incompatible** (no tiene solución). 💡 **Tip:** Solo hay soluciones infinitas cuando los rangos coinciden y son menores al número de incógnitas.

Para $\alpha = -2$, el sistema se reduce a dos ecuaciones linealmente independientes (usamos las dos primeras): $$\begin{cases} -2x + y + 3z = 4 \\ x + y - 2z = -2 \end{cases}$$ Tomamos $z = \lambda$ como parámetro $(\lambda \in \mathbb{R})$: $$\begin{cases} -2x + y = 4 - 3\lambda \\ x + y = -2 + 2\lambda \end{cases}$$ Restamos la segunda ecuación menos la primera para eliminar la $y$: $$(x - (-2x)) = (-2 + 2\lambda) - (4 - 3\lambda) \implies 3x = -6 + 5\lambda \implies x = -2 + \frac{5}{3}\lambda$$ Sustituimos $x$ en la segunda ecuación: $$-2 + \frac{5}{3}\lambda + y = -2 + 2\lambda \implies y = 2\lambda - \frac{5}{3}\lambda \implies y = \frac{1}{3}\lambda$$ Las soluciones son: $$\begin{cases} x = -2 + \frac{5}{3}\lambda \\ y = \frac{1}{3}\lambda \\ z = \lambda \end{cases} \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Al menos dos soluciones si } \alpha = -2. \text{ Soluciones: } (-2 + \frac{5}{3}\lambda, \frac{1}{3}\lambda, \lambda)}$$