Primitiva de una función y recta tangente

**a) [0’5 puntos] Calcula $F'(e)$.** Por la definición de primitiva, si $F$ es una primitiva de $f$, entonces la derivada de $F$ es igual a la función original para todo punto de su dominio: $$F'(x) = f(x)$$ Como el enunciado nos da la expresión de $f(x) = \frac{\ln(x)}{2x}$, para calcular $F'(e)$ simplemente debemos evaluar la función $f$ en el valor $x = e$: $$F'(e) = f(e) = \frac{\ln(e)}{2e}$$ Sabiendo que el logaritmo neperiano de la base es la unidad, $\ln(e) = 1$, obtenemos: $$F'(e) = \frac{1}{2e}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el Teorema Fundamental del Cálculo establece que la derivación y la integración son operaciones inversas. Si $F$ integra a $f$, entonces $F$ deriva a $f$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{F'(e) = \frac{1}{2e}}$$

**b) [2 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $F$ en el punto de abscisa $x = e$.** Para hallar la recta tangente a $F$, necesitamos conocer tanto el valor de la función como el de su derivada en $x = e$. Ya tenemos $F'(e)$, pero nos falta $F(e)$. Para ello, primero hallamos la primitiva general $F(x)$ mediante la integral indefinida: $$F(x) = \int f(x) \, dx = \int \frac{\ln(x)}{2x} \, dx$$ Podemos extraer la constante $\frac{1}{2}$ fuera de la integral: $$F(x) = \frac{1}{2} \int \ln(x) \cdot \frac{1}{x} \, dx$$ Esta integral es de tipo casi inmediata, siguiendo la regla $\int [u(x)]^n \cdot u'(x) \, dx = \frac{[u(x)]^{n+1}}{n+1} + C$. En este caso, $u(x) = \ln(x)$, cuya derivada es $u'(x) = \frac{1}{x}$, y el exponente es $n=1$: $$F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{(\ln(x))^2}{2} + C = \frac{(\ln(x))^2}{4} + C$$ 💡 **Tip:** Si no identificas la integral inmediata, puedes realizar el cambio de variable $t = \ln(x)$, lo que implica $dt = \frac{1}{x} dx$.

El enunciado nos da una condición inicial: $F(1) = 2$. Usamos este dato para encontrar el valor exacto de la constante $C$: $$F(1) = \frac{(\ln(1))^2}{4} + C = 2$$ Sabemos que $\ln(1) = 0$, por lo tanto: $$\frac{0^2}{4} + C = 2 \implies C = 2$$ De este modo, la función primitiva específica es: $$F(x) = \frac{(\ln(x))^2}{4} + 2$$ Ahora calculamos el valor de la función en el punto de tangencia $x = e$: $$F(e) = \frac{(\ln(e))^2}{4} + 2 = \frac{1^2}{4} + 2 = \frac{1}{4} + \frac{8}{4} = \frac{9}{4}$$ ✅ **Valor del punto:** $$\boxed{F(e) = \frac{9}{4}}$$

La ecuación de la recta tangente a una función $F(x)$ en el punto $x = a$ viene dada por la fórmula: $$y - F(a) = F'(a)(x - a)$$ Sustituimos nuestros datos ($a = e$, $F(e) = \frac{9}{4}$ y $F'(e) = \frac{1}{2e}$): $$y - \frac{9}{4} = \frac{1}{2e}(x - e)$$ Multiplicamos y despejamos $y$ para obtener la ecuación explícita: $$y = \frac{1}{2e}x - \frac{e}{2e} + \frac{9}{4}$$ $$y = \frac{x}{2e} - \frac{1}{2} + \frac{9}{4}$$ Sumamos las fracciones numéricas: $$y = \frac{x}{2e} + \frac{-2 + 9}{4} = \frac{x}{2e} + \frac{7}{4}$$ 💡 **Tip:** La recta tangente siempre debe pasar por el punto $(a, F(a))$ y tener como pendiente el valor de la derivada en dicho punto. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{y = \frac{x}{2e} + \frac{7}{4}}$$