Estudio de asíntotas, monotonía y extremos de una función con exponencial

**a) [1 punto] Estudia y calcula las asíntotas de la gráfica de $f$.** Primero, observamos el dominio de la función. El enunciado indica que $x \neq 1$, por lo que el dominio es $\mathbb{R} \setminus \{1\}$. Buscamos asíntotas verticales en los puntos donde la función no está definida, evaluando los límites laterales en $x = 1$: $$\lim_{x \to 1^-} \frac{e^x}{x - 1} = \frac{e^1}{0^-} = -\infty$$ $$\lim_{x \to 1^+} \frac{e^x}{x - 1} = \frac{e^1}{0^+} = +\infty$$ Como al menos uno de los límites laterales es infinito, existe una asíntota vertical. 💡 **Tip:** Una recta $x = a$ es una asíntota vertical si $\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$. Suele ocurrir en los valores que anulan el denominador. ✅ **Resultado (Asíntota Vertical):** $$\boxed{x = 1}$$

Para hallar las asíntotas horizontales, calculamos los límites de la función cuando $x \to \pm\infty$. **Cuando $x \to +\infty$:** $$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x - 1} = \frac{\infty}{\infty}$$ Aplicamos la regla de L'Hôpital (derivando numerador y denominador): $$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{1} = +\infty$$ No hay asíntota horizontal cuando $x \to +\infty$. **Cuando $x \to -\infty$:** $$\lim_{x \to -\infty} \frac{e^x}{x - 1} = \frac{0}{-\infty} = 0$$ Esto indica que hay una asíntota horizontal por la izquierda. 💡 **Tip:** Para resolver límites del tipo $\frac{\infty}{\infty}$, la regla de L'Hôpital es una herramienta fundamental en Bachillerato. ✅ **Resultado (Asíntota Horizontal):** $$\boxed{y = 0 \text{ cuando } x \to -\infty}$$

Una asíntota oblicua tiene la forma $y = mx + n$. Ya sabemos que por la izquierda ($x \to -\infty$) hay una asíntota horizontal ($y=0$), por lo que no puede haber oblicua en ese lado. Analizamos por la derecha ($x \to +\infty$): $$m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x(x - 1)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^2 - x}$$ Aplicando L'Hôpital sucesivamente: $$m = \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{2x - 1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{2} = +\infty$$ Como la pendiente $m$ no es un valor real finito, no existe asíntota oblicua. ✅ **Resultado (Asíntotas Oblicuas):** $$\boxed{\text{No existen asíntotas oblicuas}}$$

**b) [1’5 puntos] Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) de $f$.** Para estudiar la monotonía, calculamos la derivada de $f(x) = \frac{e^x}{x - 1}$ usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(e^x)'(x - 1) - (e^x)(x - 1)'}{(x - 1)^2}$$ $$f'(x) = \frac{e^x(x - 1) - e^x(1)}{(x - 1)^2} = \frac{e^x(x - 1 - 1)}{(x - 1)^2} = \frac{e^x(x - 2)}{(x - 1)^2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Aquí $u = e^x$ y $v = x - 1$. $$\boxed{f'(x) = \frac{e^x(x - 2)}{(x - 1)^2}}$$

Para hallar los puntos críticos, igualamos la derivada a cero: $$f'(x) = 0 \implies e^x(x - 2) = 0$$ Como $e^x \gt 0$ para todo $x$, la única solución es $x = 2$. Debemos estudiar el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por el dominio ($x \neq 1$) y el punto crítico ($x = 2$): $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, 1) & 1 & (1, 2) & 2 & (2, +\infty) \\\hline e^x & + & + & + & + & + \\ x-2 & - & - & - & 0 & + \\ (x-1)^2 & + & 0 & + & + & + \\\hline f'(x) & - & \nexists & - & 0 & + \\ f(x) & \searrow & \nexists & \searrow & \min & \nearrow \end{array}$$ **Intervalos de crecimiento y decrecimiento:** - La función es **decreciente** en $(-\infty, 1) \cup (1, 2)$. - La función es **creciente** en $(2, +\infty)$. ✅ **Resultado (Monotonía):** $$\boxed{\text{Creciente: } (2, +\infty); \text{ Decreciente: } (-\infty, 1) \cup (1, 2)}$$

A partir del análisis de la tabla anterior, observamos que en $x = 2$ la función pasa de ser decreciente a creciente, por lo que existe un **mínimo relativo**. Calculamos el valor de la ordenada sustituyendo en la función original $f(x)$: $$f(2) = \frac{e^2}{2 - 1} = e^2$$ No hay otros extremos relativos, ya que en $x=1$ hay una asíntota vertical y la derivada no cambia de signo en otros puntos. ✅ **Resultado (Extremos):** $$\boxed{\text{Mínimo relativo en } (2, e^2). \text{ No hay máximos relativos.}}$$