Optimización del área de un rectángulo en un pentágono

**a) El área del rectángulo R en función de x, cuando $0 \le x \le 20$. (3 puntos).** El punto $P(x, y)$ se encuentra en el segmento $AB$ que une los puntos $A(0, 20)$ y $B(20, 0)$. Para expresar el área en función únicamente de $x$, necesitamos hallar la ecuación de la recta que contiene a dicho segmento. Calculamos la pendiente $m$: $$m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{0 - 20}{20 - 0} = \frac{-20}{20} = -1$$ Usamos la forma punto-pendiente con el punto $A(0, 20)$: $$y - 20 = -1(x - 0) \implies y = -x + 20$$ Como $P$ está en el segmento $AB$, se cumple que $0 \le x \le 20$. 💡 **Tip:** La ecuación de una recta que pasa por $(x_0, y_0)$ y $(x_1, y_1)$ también se puede obtener mediante la forma segmentaria $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$, donde $a$ y $b$ son los cortes con los ejes. Aquí, $\frac{x}{20} + \frac{y}{20} = 1 \implies x + y = 20$. $$\boxed{y = 20 - x}$$

El rectángulo $R$ tiene por vértices $P(x, y)$, $F(80, y)$, $D(80, 80)$ y $G(x, 80)$. Las dimensiones del rectángulo son: - **Base (b):** La distancia horizontal entre $x$ y $80$. $$b = 80 - x$$ - **Altura (h):** La distancia vertical entre $y$ y $80$. $$h = 80 - y$$ Sustituimos la relación $y = 20 - x$ en la expresión de la altura: $$h = 80 - (20 - x) = 80 - 20 + x = 60 + x$$ El área $A(x)$ es el producto de la base por la altura: $$A(x) = (80 - x)(60 + x)$$ Multiplicando los términos: $$A(x) = 4800 + 80x - 60x - x^2 = -x^2 + 20x + 4800$$ ✅ **Resultado (Apartado a):** $$\boxed{A(x) = -x^2 + 20x + 4800, \quad 0 \le x \le 20}$$

**b) El valor de x para el que el área del rectángulo R es máxima. (5 puntos).** Para maximizar el área $A(x) = -x^2 + 20x + 4800$ en el intervalo $[0, 20]$, calculamos su derivada primera y buscamos los puntos críticos: $$A'(x) = -2x + 20$$ Igualamos a cero para hallar el valor de $x$: $$-2x + 20 = 0 \implies 2x = 20 \implies x = 10$$ Dado que $x = 10$ pertenece al intervalo de definición $[0, 20]$, es un candidato a máximo. 💡 **Tip:** En problemas de optimización, siempre debemos comprobar si el punto crítico es un máximo o mínimo usando la segunda derivada o estudiando el crecimiento.

Comprobamos que es un máximo utilizando la segunda derivada: $$A''(x) = -2$$ Como $A''(10) = -2 < 0$, la función presenta un **máximo relativo** en $x = 10$. También podemos observar el signo de la derivada en el intervalo $[0, 20]$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 10) & 10 & (10, 20) \\ \hline A'(x) & + & 0 & - \\ \hline A(x) & \text{Creciente} (\nearrow) & \text{Máximo} & \text{Decreciente} (\bearrow) \end{array}$$ Como la función es continua, el máximo relativo en un intervalo cerrado donde no hay otros puntos críticos es el máximo absoluto. ✅ **Resultado (Apartado b):** $$\boxed{x = 10 \text{ cm}}$$

**c) El valor del área máxima del rectángulo R. (2 puntos).** Para obtener el área máxima, sustituimos el valor $x = 10$ hallado en el apartado anterior en la función área $A(x)$: $$A(10) = -(10)^2 + 20(10) + 4800$$ $$A(10) = -100 + 200 + 4800$$ $$A(10) = 4900$$ También podemos calcularlo usando las dimensiones directamente: Si $x = 10$, entonces: - Base $b = 80 - 10 = 70$ cm - Altura $h = 60 + 10 = 70$ cm $$A = 70 \cdot 70 = 4900 \text{ cm}^2$$ El rectángulo de área máxima resulta ser un **cuadrado** de lado 70 cm. ✅ **Resultado (Apartado c):** $$\boxed{\text{Área máxima} = 4900 \text{ cm}^2}$$