Geometría: Posición relativa de planos y ángulos

**a) La posición relativa del plano $\pi_1$ y del plano que contiene al triángulo T. (4 puntos).** Primero, determinamos la ecuación del plano $\pi_T$ que contiene al triángulo $T$. Para ello, necesitamos un punto y dos vectores directores contenidos en el plano a partir de sus vértices $A(1, 2, -2)$, $B(0, -3, 1)$ y $C(-1, 0, 0)$. Calculamos los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$: $$\vec{AB} = B - A = (0-1, -3-2, 1-(-2)) = (-1, -5, 3)$$ $$\vec{AC} = C - A = (-1-1, 0-2, 0-(-2)) = (-2, -2, 2)$$ El vector normal al plano $\pi_T$, que llamaremos $\vec{n}_T$, se obtiene mediante el producto vectorial: $$\vec{n}_T = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & -5 & 3 \\ -2 & -2 & 2 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus: $$\vec{n}_T = \mathbf{i}(-10 - (-6)) - \mathbf{j}(-2 - (-6)) + \mathbf{k}(2 - 10)$$ $$\vec{n}_T = -4\mathbf{i} - 4\mathbf{j} - 8\mathbf{k} = (-4, -4, -8)$$ Podemos simplificar el vector normal dividiendo por $-4$, obteniendo $\vec{n}_T = (1, 1, 2)$. La ecuación del plano $\pi_T$ es: $$1(x-1) + 1(y-2) + 2(z+2) = 0 \implies x - 1 + y - 2 + 2z + 4 = 0$$ $$\pi_T: x + y + 2z + 1 = 0$$

Para conocer la posición relativa, comparamos los coeficientes de las ecuaciones de $\pi_1$ y $\pi_T$: $$\pi_1: x + y + z + 1 = 0 \implies \vec{n}_1 = (1, 1, 1)$$ $$\pi_T: x + y + 2z + 1 = 0 \implies \vec{n}_T = (1, 1, 2)$$ Analizamos la proporcionalidad de los coeficientes: $$\frac{1}{1} = \frac{1}{1} \neq \frac{1}{2}$$ Como los vectores normales no son proporcionales, los planos no son paralelos ni coincidentes. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Los planos } \pi_1 \text{ y } \pi_T \text{ son secantes (se cortan en una recta).}}$$

**b) Un vector $\vec{n}_1$ perpendicular al plano $\pi_1$ y un vector $\vec{n}_2$ perpendicular al plano $\pi_2$ (1,5 puntos) y el coseno del ángulo formado por los vectores $\vec{n}_1$ y $\vec{n}_2$ (1,5 puntos).** - Para $\pi_1: x + y + z + 1 = 0$, el vector normal es directo: $$\vec{n}_1 = (1, 1, 1)$$ - Para $\pi_2$, dado en paramétricas, extraemos sus vectores directores $\vec{u} = (-1, 1, 1)$ y $\vec{v} = (1, -2, 1)$. El vector normal $\vec{n}_2$ es su producto vectorial: $$\vec{n}_2 = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{n}_2 = \mathbf{i}(1 - (-2)) - \mathbf{j}(-1 - 1) + \mathbf{k}(2 - 1)$$ $$\vec{n}_2 = 3\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 1\mathbf{k} = (3, 2, 1)$$ 💡 **Tip:** El vector normal a un plano en paramétricas siempre es el producto vectorial de sus vectores directores. ✅ **Vectores normales:** $$\boxed{\vec{n}_1 = (1, 1, 1), \quad \vec{n}_2 = (3, 2, 1)}$$

El coseno del ángulo $\theta$ entre los vectores $\vec{n}_1$ y $\vec{n}_2$ se calcula con la fórmula: $$\cos \theta = \frac{\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|}$$ Calculamos el producto escalar: $$\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = (1)(3) + (1)(2) + (1)(1) = 3 + 2 + 1 = 6$$ Calculamos los módulos: $$|\vec{n}_1| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$$ $$|\vec{n}_2| = \sqrt{3^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14}$$ Sustituimos: $$\cos \theta = \frac{6}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{14}} = \frac{6}{\sqrt{42}}$$ Racionalizando (opcional): $$\cos \theta = \frac{6\sqrt{42}}{42} = \frac{\sqrt{42}}{7}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\cos \theta = \frac{6}{\sqrt{42}} = \frac{\sqrt{42}}{7}}$$

**c) Las ecuaciones paramétricas de la recta intersección de los planos $\pi_1$ y $\pi_2$. (3 puntos).** Para hallar la recta intersección, sustituimos las expresiones paramétricas de $\pi_2$ en la ecuación implícita de $\pi_1$: $$\pi_1: x + y + z + 1 = 0$$ $$(-\alpha + \beta + 1) + (\alpha - 2\beta) + (\alpha + \beta) + 1 = 0$$ Agrupamos términos: $$(-\alpha + \alpha + \alpha) + (\beta - 2\beta + \beta) + (1 + 1) = 0$$ $$\alpha + 0\beta + 2 = 0 \implies \alpha = -2$$ Esto significa que la intersección ocurre cuando el parámetro $\alpha$ es constante e igual a $-2$. Sustituimos este valor en las ecuaciones de $\pi_2$, dejando $\beta$ como el parámetro de la recta (al que llamaremos $\lambda$ para seguir la notación estándar): $$x = -(-2) + \lambda + 1 = 3 + \lambda$$ $$y = (-2) - 2\lambda = -2 - 2\lambda$$ $$z = (-2) + \lambda = -2 + \lambda$$ 💡 **Tip:** Al sustituir las paramétricas de un plano en la implícita de otro, si obtienes una relación entre parámetros, esa relación define la recta común. ✅ **Resultado (Ecuaciones paramétricas):** $$\boxed{\begin{cases} x = 3 + \lambda \\ y = -2 - 2\lambda \\ z = -2 + \lambda \end{cases}}$$