Inversa, ecuación matricial y determinantes

**a) La matriz inversa $A^{-1}$ de la matriz A. (3 puntos).** Para que una matriz tenga inversa, su determinante debe ser distinto de cero. Calculamos el determinante de $A$: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$ Como es una matriz triangular superior, el determinante es el producto de los elementos de su diagonal principal: $$|A| = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$$ 💡 **Tip:** El determinante de cualquier matriz triangular (superior o inferior) es simplemente el producto de las entradas de su diagonal. Como $|A| = 1 \neq 0$, existe la matriz inversa $A^{-1}$.

Utilizaremos el método de la matriz adjunta: $A^{-1} = \frac{1}{|A|} [Adj(A)]^T$. Calculamos los adjuntos de los elementos de $A$ ($A_{ij}$): - $A_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1$ - $A_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{13} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{21} = -\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -(-1) = 1$ - $A_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1$ - $A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{31} = +\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1 - 1 = -2$ - $A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -1$ - $A_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1$ La matriz de adjuntos es: $$Adj(A) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ -2 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$

La matriz inversa se obtiene trasponiendo la matriz de adjuntos y dividiendo por el determinante: $$A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (matriz inversa):** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}$$

**b) La matriz X que es solución de la ecuación $AX = BC$. (4 puntos).** Primero calculamos el producto $BC$. La matriz $B$ tiene dimensiones $3 \times 1$ y la matriz $C$ tiene dimensiones $1 \times 3$, por lo que el resultado será una matriz de dimensiones $3 \times 3$. $$BC = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-2)(-1) & (-2)(1) & (-2)(3) \\ (1)(-1) & (1)(1) & (1)(3) \\ (-1)(-1) & (-1)(1) & (-1)(3) \end{pmatrix}$$ $$BC = \begin{pmatrix} 2 & -2 & -6 \\ -1 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & -3 \end{pmatrix}$$

Para despejar $X$ en la ecuación $AX = BC$, multiplicamos por la izquierda por $A^{-1}$ en ambos miembros: $$A^{-1} (AX) = A^{-1} (BC)$$ $$(A^{-1} A) X = A^{-1} (BC)$$ $$I X = A^{-1} (BC) \implies X = A^{-1} (BC)$$ Calculamos el producto: $$X = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -2 & -6 \\ -1 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & -3 \end{pmatrix}$$ Operamos fila a fila: - Fila 1: $\begin{pmatrix} 1(2)+1(-1)-2(1) & 1(-2)+1(1)-2(-1) & 1(-6)+1(3)-2(-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 3 \end{pmatrix}$ - Fila 2: $\begin{pmatrix} 0(2)+1(-1)-1(1) & 0(-2)+1(1)-1(-1) & 0(-6)+1(3)-1(-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 2 & 6 \end{pmatrix}$ - Fila 3: $\begin{pmatrix} 0(2)+0(-1)+1(1) & 0(-2)+0(1)+1(-1) & 0(-6)+0(3)+1(-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -3 \end{pmatrix}$ ✅ **Resultado (matriz X):** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 3 \\ -2 & 2 & 6 \\ 1 & -1 & -3 \end{pmatrix}}$$

**c) El determinante de la matriz $2M^3$, siendo M una matriz cuadrada de orden 2 cuyo determinante vale $\frac{1}{2}$. (3 puntos).** Utilizaremos las siguientes propiedades de los determinantes: 1. $|k \cdot A| = k^n \cdot |A|$, donde $n$ es el orden de la matriz. 2. $|A \cdot B| = |A| \cdot |B|$, y por extensión $|A^p| = |A|^p$. Dada la expresión $|2M^3|$, aplicamos la primera propiedad sabiendo que $M$ es de orden $n=2$: $$|2M^3| = 2^2 \cdot |M^3|$$ Ahora aplicamos la segunda propiedad para la potencia: $$|2M^3| = 4 \cdot (|M|)^3$$ 💡 **Tip:** No olvides elevar la constante al orden de la matriz. Es un error común olvidar que $|2M| = 2^n |M|$.

Sustituimos el valor del determinante de $M$, que es $|M| = \frac{1}{2}$: $$|2M^3| = 4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 4 \cdot \frac{1}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$$ ✅ **Resultado (determinante):** $$\boxed{|2M^3| = \frac{1}{2}}$$