Continuidad, Monotonía e Integración de una Función Exponencial

**a) El valor de m para el cual la función $f(x) = \begin{cases} m(x+1)e^{2x}, & x \leq 0 \\ \frac{(x+1)\text{sen}x}{x}, & x > 0 \end{cases}$ es continua en $x = 0$. (3 puntos).** Para que la función sea continua en $x = 0$, se debe cumplir que existan los límites laterales y que estos coincidan con el valor de la función en dicho punto: $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$$ Calculamos primero el valor de la función en $x=0$ usando la primera rama: $$f(0) = m(0+1)e^{2(0)} = m \cdot 1 \cdot 1 = m$$ 💡 **Tip:** Una función definida a trozos es continua en un punto de salto entre ramas si el límite por la izquierda es igual al límite por la derecha e igual al valor de la función.

Calculamos el límite por la izquierda (coincide con $f(0)$): $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} m(x+1)e^{2x} = m(0+1)e^0 = m$$ Calculamos el límite por la derecha: $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{(x+1)\text{sen}x}{x} = \lim_{x \to 0^+} (x+1) \cdot \lim_{x \to 0^+} \frac{\text{sen}x}{x}$$ El primer factor tiende a $1$. Para el segundo factor, observamos que es una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$. Aplicamos la **regla de L'Hôpital**: $$\lim_{x \to 0^+} \frac{\text{sen}x}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{(\text{sen}x)'}{(x)'} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\cos x}{1} = \frac{\cos(0)}{1} = 1$$ Por tanto: $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1 \cdot 1 = 1$$ Para que sea continua: $$m = 1$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{m = 1}$$

**b) Los intervalos de crecimiento o decrecimiento de la función $(x+1)e^{2x}$. (3 puntos).** Sea $g(x) = (x+1)e^{2x}$. Para estudiar el crecimiento y decrecimiento, calculamos su primera derivada utilizando la regla del producto: $$g'(x) = \frac{d}{dx}(x+1) \cdot e^{2x} + (x+1) \cdot \frac{d}{dx}(e^{2x})$$ $$g'(x) = 1 \cdot e^{2x} + (x+1) \cdot 2e^{2x}$$ $$g'(x) = e^{2x} [1 + 2(x+1)] = e^{2x}(1 + 2x + 2)$$ $$g'(x) = (2x + 3)e^{2x}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $(u \cdot v)' = u'v + uv'$ y que $(e^{f(x)})' = f'(x)e^{f(x)}$.

Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$(2x + 3)e^{2x} = 0$$ Como la función exponencial $e^{2x}$ siempre es positiva ($e^{2x} > 0$) para cualquier $x \in \mathbb{R}$, la única posibilidad es: $$2x + 3 = 0 \implies x = -\frac{3}{2} = -1.5$$ Analizamos el signo de $g'(x)$ en los intervalos definidos por este punto: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, -1.5) & -1.5 & (-1.5, +\infty) \\ \hline 2x+3 & - & 0 & + \\ e^{2x} & + & + & + \\ \hline g'(x) & - & 0 & + \\ \text{Función} & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Decreciente en } (-\infty, -1.5) \text{ y Creciente en } (-1.5, +\infty)}$$

**c) La integral $\int (x+1)e^{2x} dx$, (2 puntos) y el área limitada por la curva $y = (x+1)e^{2x}$ y las rectas $x=0, x=1$ y $y=0$. (2 puntos).** Resolvemos la integral por el método de **integración por partes**: Sea $u = x+1 \implies du = dx$ Sea $dv = e^{2x}dx \implies v = \int e^{2x}dx = \frac{1}{2}e^{2x}$ Aplicamos la fórmula $\int u \, dv = uv - \int v \, du$: $$\int (x+1)e^{2x} dx = (x+1)\frac{1}{2}e^{2x} - \int \frac{1}{2}e^{2x} dx$$ $$\int (x+1)e^{2x} dx = \frac{x+1}{2}e^{2x} - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2}e^{2x} \right) + C$$ $$\int (x+1)e^{2x} dx = \frac{x+1}{2}e^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x} + C$$ Sacando factor común $\frac{1}{4}e^{2x}$: $$\int (x+1)e^{2x} dx = \frac{e^{2x}}{4} [2(x+1) - 1] + C = \frac{2x+1}{4}e^{2x} + C$$ ✅ **Resultado (Integral):** $$\boxed{\int (x+1)e^{2x} dx = \frac{2x+1}{4}e^{2x} + C}$$

Para hallar el área entre $x=0$ y $x=1$, observamos que en dicho intervalo la función $g(x) = (x+1)e^{2x}$ siempre es positiva. Por tanto, el área es la integral definida: $$A = \int_{0}^{1} (x+1)e^{2x} dx$$ Aplicamos la **Regla de Barrow** usando la primitiva obtenida anteriormente: $$A = \left[ \frac{2x+1}{4}e^{2x} \right]_{0}^{1}$$ $$A = \left( \frac{2(1)+1}{4}e^{2(1)} \right) - \left( \frac{2(0)+1}{4}e^{2(0)} \right)$$ $$A = \frac{3}{4}e^2 - \frac{1}{4}e^0 = \frac{3e^2 - 1}{4} \text{ u}^2$$ Evaluando numéricamente ($e^2 \approx 7.389$): $$A \approx \frac{3(7.389) - 1}{4} \approx 5.29 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado (Área):** $$\boxed{A = \frac{3e^2 - 1}{4} \text{ u}^2 \approx 5.29 \text{ u}^2}$$