Geometría en el espacio: planos y distancias entre rectas

**a) La ecuación del plano $\pi$ que pasa por el punto A y contiene a la recta r. (3 puntos).** Para definir un plano necesitamos un punto y dos vectores directores no paralelos. Como el plano $\pi$ contiene a la recta $r$, podemos extraer de ella un punto y un vector: De la ecuación de $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z-2}{1}$: - Un punto de la recta: $P_r = (1, 0, 2)$. - El vector dirección de la recta: $\vec{v_r} = (2, 3, 1)$. Como el plano también pasa por $A = (-1, 0, 2)$, podemos construir un segundo vector director utilizando $A$ y $P_r$: $$\vec{AP_r} = P_r - A = (1 - (-1), 0 - 0, 2 - 2) = (2, 0, 0).$$ 💡 **Tip:** Si un plano contiene a una recta, su vector director es también vector director del plano. Si además pasa por un punto exterior, el vector que une un punto de la recta con ese punto exterior es el segundo vector director necesario.

Utilizamos el punto $A(-1, 0, 2)$ y los vectores $\vec{v_r} = (2, 3, 1)$ y $\vec{AP_r} = (2, 0, 0)$ para hallar la ecuación implícita mediante el determinante: $$\begin{vmatrix} x - (-1) & y - 0 & z - 2 \\ 2 & 3 & 1 \\ 2 & 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos por la tercera fila (que tiene más ceros): $$2 \cdot \begin{vmatrix} y & z - 2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} - 0 + 0 = 0$$ $$2 \cdot [1 \cdot y - 3(z - 2)] = 0$$ $$2(y - 3z + 6) = 0 \implies y - 3z + 6 = 0.$$ ✅ **Resultado (Plano $\pi$):** $$\boxed{\pi: y - 3z + 6 = 0}$$

**b) La ecuación del plano $\sigma$ que pasa por el punto A y es perpendicular a la recta s. (3 puntos)** Si el plano $\sigma$ es perpendicular a la recta $s$, el vector dirección de la recta $\vec{v_s}$ será el vector normal del plano $\vec{n_\sigma}$. De las ecuaciones paramétricas de $s: \begin{cases} x = -1 - 2\lambda \\ y = 1 + 3\lambda \\ z = 1 + \lambda \end{cases}$, extraemos el vector director: $$\vec{v_s} = (-2, 3, 1).$$ Por tanto, el vector normal del plano es $\vec{n_\sigma} = (-2, 3, 1)$. La ecuación general del plano será: $$-2x + 3y + z + D = 0.$$ 💡 **Tip:** En la ecuación $Ax + By + Cz + D = 0$, los coeficientes $(A, B, C)$ coinciden con las componentes del vector normal al plano.

Para hallar $D$, imponemos que el plano pase por el punto $A(-1, 0, 2)$: $$-2(-1) + 3(0) + 2 + D = 0$$ $$2 + 0 + 2 + D = 0 \implies 4 + D = 0 \implies D = -4.$$ La ecuación del plano es $-2x + 3y + z - 4 = 0$. Multiplicando por $-1$ para simplificar: $$2x - 3y - z + 4 = 0.$$ ✅ **Resultado (Plano $\sigma$):** $$\boxed{\sigma: 2x - 3y - z + 4 = 0}$$

**c) Un vector dirección de la recta $l$ intersección de los planos $\pi$ y $\sigma$ (2 puntos) y la distancia entre las rectas s y l. (2 puntos).** El vector dirección $\vec{v_l}$ de la recta intersección de dos planos es el producto vectorial de los vectores normales de dichos planos. - Vector normal de $\pi$: $\vec{n_\pi} = (0, 1, -3)$. - Vector normal de $\sigma$: $\vec{n_\sigma} = (2, -3, -1)$. Calculamos el producto vectorial: $$\vec{v_l} = \vec{n_\pi} \times \vec{n_\sigma} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 1 & -3 \\ 2 & -3 & -1 \end{vmatrix}$$ Resolviendo por Sarrus: $$\vec{v_l} = \vec{i}(-1 - 9) - \vec{j}(0 - (-6)) + \vec{k}(0 - 2) = -10\vec{i} - 6\vec{j} - 2\vec{k}.$$ Podemos simplificar el vector dirección dividiendo entre $-2$: $$\vec{v_l} = (5, 3, 1).$$ ✅ **Resultado (Vector dirección):** $$\boxed{\vec{v_l} = (5, 3, 1)}$$

Observamos que el punto $A(-1, 0, 2)$ pertenece a ambos planos, por lo que la recta $l$ pasa por $A$. Datos de las rectas: - Recta $l$: pasa por $A(-1, 0, 2)$ con $\vec{v_l} = (5, 3, 1)$. - Recta $s$: pasa por $P_s(-1, 1, 1)$ con $\vec{v_s} = (-2, 3, 1)$. Calculamos el vector que une ambas rectas: $\vec{AP_s} = P_s - A = (0, 1, -1)$. La distancia entre dos rectas que se cruzan es: $$d(s, l) = \frac{|[\vec{v_s}, \vec{v_l}, \vec{AP_s}]|}{|\vec{v_s} \times \vec{v_l}|}$$ Primero, el producto vectorial del denominador: $$\vec{v_s} \times \vec{v_l} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & 3 & 1 \\ 5 & 3 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(3-3) - \vec{j}(-2-5) + \vec{k}(-6-15) = (0, 7, -21).$$ Su módulo es $|\vec{v_s} \times \vec{v_l}| = \sqrt{0^2 + 7^2 + (-21)^2} = \sqrt{49 + 441} = \sqrt{490} = 7\sqrt{10}.$ Segundo, el producto mixto (numerador): $$|[\vec{v_s}, \vec{v_l}, \vec{AP_s}]| = |(0, 7, -21) \cdot (0, 1, -1)| = |0 + 7 + 21| = 28.$$ Finalmente: $$d(s, l) = \frac{28}{7\sqrt{10}} = \frac{4}{\sqrt{10}} = \frac{4\sqrt{10}}{10} = \frac{2\sqrt{10}}{5}.$$ ✅ **Resultado (Distancia):** $$\boxed{d(s, l) = \frac{2\sqrt{10}}{5} \approx 1,265 \text{ u}}$$