Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones lineales con un parámetro

**a) Discutir razonadamente el sistema según los valores de k. (4 puntos).** En primer lugar, escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ es la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 4 & 5 \\ 1 & k^2 & 3 \end{pmatrix}, \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 2 & -1 \\ 2 & 4 & 5 & k-2 \\ 1 & k^2 & 3 & 2k \end{array}\right)$$ Para discutir el sistema, calcularemos el determinante de la matriz $A$ para ver cuándo su rango es máximo (rango 3). 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Frobenius nos permite clasificar el sistema comparando el rango de $A$, el de $A^*$ y el número de incógnitas ($n=3$).

Calculamos el determinante de $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 4 & 5 \\ 1 & k^2 & 3 \end{vmatrix} = (1\cdot 4\cdot 3 + 2\cdot k^2\cdot 2 + 1\cdot 3\cdot 5) - (2\cdot 4\cdot 1 + 5\cdot k^2\cdot 1 + 3\cdot 3\cdot 2)$$ $$|A| = (12 + 4k^2 + 15) - (8 + 5k^2 + 18) = (27 + 4k^2) - (26 + 5k^2)$$ $$|A| = 1 - k^2$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos de $k$: $$1 - k^2 = 0 \implies k^2 = 1 \implies \mathbf{k = 1, \quad k = -1}$$

Analizamos los casos según el valor de $k$: * **Caso 1: $k \neq 1$ y $k \neq -1$** Si $k \neq \pm 1$, entonces $|A| \neq 0$. Esto implica que $rank(A) = 3$. Como el rango máximo de la matriz ampliada $A^*$ también es 3 y coincide con el número de incógnitas ($n=3$): $$\text{Por Rouché-Frobenius: } rank(A) = rank(A^*) = 3 = n \implies \text{S. Compatible Determinado (SCD)}$$ * **Caso 2: $k = 1$** La matriz ampliada es $A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 2 & -1 \\ 2 & 4 & 5 & -1 \\ 1 & 1 & 3 & 2 \end{array}\right)$. Sabemos que $|A|=0$, por lo que $rank(A) \lt 3$. Como el menor $\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = 4-6 = -2 \neq 0$, entonces $rank(A) = 2$. Comprobamos el rango de $A^*$ con la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 2 & 4 & -1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = (8 - 3 - 2) - (-4 - 1 + 12) = 3 - 7 = -4 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 no nulo en $A^*$, $rank(A^*) = 3$. $$\text{Como } rank(A) \neq rank(A^*) \implies \text{S. Incompatible (SI)}$$ * **Caso 3: $k = -1$** La matriz ampliada es $A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 2 & -1 \\ 2 & 4 & 5 & -3 \\ 1 & 1 & 3 & -2 \end{array}\right)$. Como antes, $rank(A) = 2$. Comprobamos el rango de $A^*$: $$\begin{vmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 2 & 4 & -3 \\ 1 & 1 & -2 \end{vmatrix} = (-8 - 9 - 2) - (-4 - 3 - 12) = -19 - (-19) = 0$$ Como todos los menores de orden 3 son nulos, $rank(A^*) = 2$. $$\text{Como } rank(A) = rank(A^*) = 2 \lt 3 \implies \text{S. Compatible Indeterminado (SCI)}$$ ✅ **Resultado (Discusión):** $$\boxed{\begin{cases} k \neq \pm 1 & \text{SCD} \\ k = 1 & \text{SI} \\ k = -1 & \text{SCI} \end{cases}}$$

**b) Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado, todas las soluciones del sistema cuando $k = -1$. (3 puntos).** Para $k = -1$, el sistema es Compatible Indeterminado con $rank(A)=2$. Podemos prescindir de la tercera ecuación por ser combinación lineal de las otras dos. Usamos un parámetro $\lambda$ para una de las variables. El sistema reducido es: $$\begin{cases} x + 3y + 2z = -1 \\ 2x + 4y + 5z = -3 \end{cases}$$ Sea $z = \lambda$. Reorganizamos el sistema: $$\begin{cases} x + 3y = -1 - 2\lambda \\ 2x + 4y = -3 - 5\lambda \end{cases}$$ Resolvemos por reducción (multiplicamos la primera por $-2$): $$-2x - 6y = 2 + 4\lambda$$ $$2x + 4y = -3 - 5\lambda$$ Sumamos ambas ecuaciones: $$-2y = -1 - \lambda \implies y = \frac{1 + \lambda}{2}$$ Sustituimos $y$ en la primera ecuación para hallar $x$: $$x = -1 - 2\lambda - 3\left(\frac{1 + \lambda}{2}\right) = \frac{-2 - 4\lambda - 3 - 3\lambda}{2} = \frac{-5 - 7\lambda}{2}$$ ✅ **Resultado (Solución k = -1):** $$\boxed{\left(x, y, z\right) = \left(\frac{-5 - 7\lambda}{2}, \frac{1 + \lambda}{2}, \lambda\right), \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$

**c) Resolver razonadamente el sistema cuando $k = 0$. (3 puntos).** Para $k = 0$, el determinante es $|A| = 1 - 0^2 = 1 \neq 0$, por lo que el sistema es Compatible Determinado. El sistema queda: $$\begin{cases} x + 3y + 2z = -1 \\ 2x + 4y + 5z = -2 \\ x + 0y + 3z = 0 \end{cases}$$ De la tercera ecuación despejamos $x$: $$x = -3z$$ Sustituimos en las otras dos: 1. $(-3z) + 3y + 2z = -1 \implies 3y - z = -1$ 2. $2(-3z) + 4y + 5z = -2 \implies 4y - z = -2$ Restamos la primera de la segunda: $$(4y - z) - (3y - z) = -2 - (-1) \implies y = -1$$ Ahora calculamos $z$ de $3y - z = -1$: $$3(-1) - z = -1 \implies -3 - z = -1 \implies z = -2$$ Finalmente calculamos $x$: $$x = -3(-2) = 6$$ ✅ **Resultado (Solución k = 0):** $$\boxed{x = 6, \quad y = -1, \quad z = -2}$$