Optimización de ingresos en alquiler de avión

**a) El total que cobra la empresa VR si viajan 61, 70 y 80 pasajeros. (1 punto).** Para calcular el total que cobra la empresa, debemos multiplicar el número de pasajeros por el precio del billete correspondiente. El precio base es de $800$ € para $60$ personas, y disminuye $10$ € por cada pasajero adicional. - **Para 61 pasajeros:** Hay $1$ viajero adicional ($61 - 60 = 1$). Precio por billete: $800 - 10(1) = 790$ €. Total: $61 \cdot 790 = 48190$ €. - **Para 70 pasajeros:** Hay $10$ viajeros adicionales ($70 - 60 = 10$). Precio por billete: $800 - 10(10) = 800 - 100 = 700$ €. Total: $70 \cdot 700 = 49000$ €. - **Para 80 pasajeros:** Hay $20$ viajeros adicionales ($80 - 60 = 20$). Precio por billete: $800 - 10(20) = 800 - 200 = 600$ €. Total: $80 \cdot 600 = 48000$ €. 💡 **Tip:** El ingreso total siempre se calcula como $\text{Ingreso} = \text{Pasajeros} \times \text{Precio unitario}$. ✅ **Resultados:** $$\boxed{61 \text{ pax: } 48190 \text{ €} \quad | \quad 70 \text{ pax: } 49000 \text{ €} \quad | \quad 80 \text{ pax: } 48000 \text{ €}}$$

**b) El total que cobra la empresa VR si viajan $60 + x$ pasajeros, siendo $0 \le x \le 20$. (4 puntos).** Definimos la función de ingresos $I(x)$ en términos de los pasajeros adicionales $x$: 1. **Número de pasajeros:** $N(x) = 60 + x$. 2. **Precio por billete:** El precio disminuye $10$ € por cada unidad de $x$. Por tanto, $P(x) = 800 - 10x$. Multiplicamos ambas expresiones para obtener el ingreso total: $$I(x) = (60 + x) \cdot (800 - 10x)$$ Desarrollamos el producto: $$I(x) = 60 \cdot 800 - 60 \cdot 10x + 800x - 10x^2$$ $$I(x) = 48000 - 600x + 800x - 10x^2$$ $$I(x) = -10x^2 + 200x + 48000$$ El dominio de esta función, según el enunciado, es $x \in [0, 20]$. ✅ **Función de ingresos:** $$\boxed{I(x) = -10x^2 + 200x + 48000, \quad 0 \le x \le 20}$$

**c) El número de pasajeros entre 60 y 80 que maximiza lo que cobra en total la empresa VR. (5 puntos).** Para maximizar la función $I(x)$, calculamos su primera derivada e igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: $$I'(x) = \frac{d}{dx}(-10x^2 + 200x + 48000) = -20x + 200$$ Igualamos a cero: $$-20x + 200 = 0 \implies 20x = 200 \implies x = \frac{200}{20} = 10$$ Comprobamos si es un máximo utilizando la segunda derivada: $$I''(x) = -20$$ Como $I''(10) = -20 < 0$, la función presenta un **máximo relativo** en $x = 10$. 💡 **Tip:** Si la segunda derivada es negativa ($f''(a) < 0$), el punto es un máximo relativo.

Hemos determinado que el valor de $x$ que maximiza el ingreso es $x = 10$ pasajeros adicionales. Evaluamos el número total de pasajeros: $$\text{Total pasajeros} = 60 + x = 60 + 10 = 70 \text{ pasajeros}.$$ También es conveniente verificar los extremos del intervalo $[0, 20]$ para asegurar que el máximo absoluto coincide con el relativo: - $I(0) = 48000$ €. - $I(10) = 49000$ €. - $I(20) = 48000$ €. Confirmamos que el máximo se alcanza con **70 pasajeros**. **Tabla de monotonía de $I(x)$:** $$ \begin{array}{c|ccc} x & (0, 10) & 10 & (10, 20) \\ \hline I'(x) & + & 0 & - \\ \hline I(x) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow \end{array} $$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{El máximo cobro se obtiene con 70 pasajeros}}$$