Posición relativa, planos y distancias en el espacio

**a) Un vector director de cada recta (2 puntos) y la posición relativa de las rectas r y s. (2 puntos).** Para obtener el vector director de una recta dada como intersección de dos planos, calculamos el producto vectorial de los vectores normales a dichos planos. Para la recta $r$: Los planos son $x-y=0$ y $z=10$. Sus vectores normales son $\vec{n}_{r1} = (1, -1, 0)$ y $\vec{n}_{r2} = (0, 0, 1)$. $$\vec{v}_r = \vec{n}_{r1} \times \vec{n}_{r2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-1) - \mathbf{j}(1) + \mathbf{k}(0) = (-1, -1, 0)$$ Podemos tomar como vector director $\vec{v}_r = (1, 1, 0)$. Para la recta $s$: Los planos son $x+y=8$ y $x+y+z=13$. Sus vectores normales son $\vec{n}_{s1} = (1, 1, 0)$ y $\vec{n}_{s2} = (1, 1, 1)$. $$\vec{v}_s = \vec{n}_{s1} \times \vec{n}_{s2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1) - \mathbf{j}(1) + \mathbf{k}(0) = (1, -1, 0)$$ 💡 **Tip:** El vector director de la recta intersección de dos planos siempre es perpendicular a los vectores normales de ambos planos simultáneamente. ✅ **Vectores directores:** $$\boxed{\vec{v}_r = (1, 1, 0), \quad \vec{v}_s = (1, -1, 0)}$$

Para determinar la posición relativa, primero observamos que $\vec{v}_r$ y $\vec{v}_s$ no son proporcionales ($1/1 \neq 1/-1$), por lo que las rectas **se cortan o se cruzan**. Necesitamos un punto de cada recta: - Para $r$: Si $x=0 \implies y=0$. Con $z=10$, tenemos $P_r(0, 0, 10)$. - Para $s$: Si $x=4, y=4$ (cumple $x+y=8$), sustituimos en la segunda: $4+4+z=13 \implies z=5$. Tenemos $P_s(4, 4, 5)$. Formamos el vector $\vec{P_rP_s} = (4-0, 4-0, 5-10) = (4, 4, -5)$. Calculamos el determinante de la matriz formada por los tres vectores para ver si son coplanarios: $$[\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{P_rP_s}] = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 4 & 4 & -5 \end{vmatrix}$$ Desarrollando por la tercera columna (que tiene dos ceros): $$[\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{P_rP_s}] = -5 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -5(-1 - 1) = -5(-2) = 10$$ Como el determinante es distinto de cero ($10 \neq 0$), los vectores son linealmente independientes. Esto implica que las rectas no están en el mismo plano. ✅ **Posición relativa:** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ se cruzan}}$$

**b) La ecuación del plano que contiene a la recta s y es paralelo a la recta r. (3 puntos).** El plano $\pi$ buscado queda determinado por: 1. Un punto de la recta $s$: $P_s(4, 4, 5)$. 2. El vector director de $s$: $\vec{v}_s = (1, -1, 0)$. 3. El vector director de $r$ (ya que el plano es paralelo a $r$): $\vec{v}_r = (1, 1, 0)$. La ecuación implícita del plano se obtiene mediante el determinante: $$\begin{vmatrix} x - 4 & y - 4 & z - 5 \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos de nuevo por la tercera columna: $$(z - 5) \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$$ $$(z - 5)(1 - (-1)) = 0 \implies 2(z - 5) = 0 \implies z - 5 = 0$$ 💡 **Tip:** Si un plano contiene a una recta y es paralelo a otra, sus vectores directores sirven como vectores generadores del plano. ✅ **Ecuación del plano:** $$\boxed{z = 5}$$

**c) La distancia entre las rectas r y s. (3 puntos).** La distancia entre dos rectas que se cruzan se puede calcular como la distancia de un punto de una de ellas al plano que contiene a la otra y es paralelo a la primera. En este caso, el plano calculado en el apartado anterior. $$d(r, s) = d(P_r, \pi)$$ Donde $P_r(0, 0, 10)$ y el plano $\pi$ es $z - 5 = 0$. Aplicamos la fórmula de distancia punto-plano: $$d(P_r, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ $$d(P_r, \pi) = \frac{|1 \cdot 10 - 5|}{\sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2}} = \frac{|5|}{1} = 5$$ Alternativamente, usando la fórmula del volumen del paralelepípedo: $$d(r, s) = \frac{|[\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{P_rP_s}]|}{|\vec{v}_r \times \vec{v}_s|}$$ Ya sabemos que el numerador es $10$. Calculamos el denominador: $$\vec{v}_r \times \vec{v}_s = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix} = (0, 0, -2) \implies |\vec{v}_r \times \vec{v}_s| = \sqrt{0^2+0^2+(-2)^2} = 2$$ $$d(r, s) = \frac{10}{2} = 5$$ ✅ **Distancia:** $$\boxed{d(r, s) = 5 \text{ unidades}}$$