Discusión y resolución de un sistema con parámetro real

**a) Los valores del parámetro $\alpha$ para los que el sistema es incompatible. (3 puntos).** **b) Los valores del parámetro $\alpha$ para los que el sistema es compatible y determinado. (3 puntos).** Para discutir el sistema, representamos las ecuaciones en forma matricial $A \cdot X = B$: $$A = \begin{pmatrix} 1-\alpha & 2 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \\ 1 & 4 & -(\alpha+1) \end{pmatrix}, \quad A^* = \begin{pmatrix} 1-\alpha & 2 & 1 & | & 4 \\ 1 & 1 & -2 & | & -4 \\ 1 & 4 & -(\alpha+1) & | & -2\alpha \end{pmatrix}$$ Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes $|A|$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1-\alpha & 2 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \\ 1 & 4 & -\alpha-1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [(1-\alpha) \cdot 1 \cdot (-\alpha-1)] + [2 \cdot (-2) \cdot 1] + [1 \cdot 1 \cdot 4] - [1 \cdot 1 \cdot 1 + 4 \cdot (-2) \cdot (1-\alpha) + (-\alpha-1) \cdot 1 \cdot 2]$$ $$|A| = (\alpha^2 - 1) - 4 + 4 - [1 - 8 + 8\alpha - 2\alpha - 2]$$ $$|A| = \alpha^2 - 1 - [6\alpha - 9] = \alpha^2 - 6\alpha + 8$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$\alpha^2 - 6\alpha + 8 = 0 \implies \alpha = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2}$$ Obtenemos $\alpha = 4$ y $\alpha = 2$. 💡 **Tip:** El determinante de la matriz $A$ es clave para aplicar el Teorema de Rouché-Frobenius; si $|A| \neq 0$, el rango es máximo.

Analizamos el rango según el Teorema de Rouché-Frobenius para responder al apartado **b**: Si $\alpha \neq 2$ y $\alpha \neq 4$, entonces $|A| \neq 0$. Por lo tanto: - $\text{rango}(A) = 3$ - $\text{rango}(A^*) = 3$ (ya que el rango de $A$ no puede ser mayor que el de $A^*$ y el máximo es 3) - $n = 3$ (número de incógnitas) Como $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = n = 3$, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**. ✅ **Resultado b):** $$\boxed{\alpha \in \mathbb{R} \setminus \{2, 4\}}$$

Para responder al apartado **a**, estudiamos el rango de las matrices cuando $\alpha = 4$: $$A = \begin{pmatrix} -3 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \\ 1 & 4 & -5 \end{pmatrix}, \quad A^* = \begin{pmatrix} -3 & 2 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & -2 & -4 \\ 1 & 4 & -5 & -8 \end{pmatrix}$$ Sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rango}(A) \lt 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} -3 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -3 - 2 = -5 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ Ahora calculamos el rango de $A^*$ ampliando el menor anterior con la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} -3 & 2 & 4 \\ 1 & 1 & -4 \\ 1 & 4 & -8 \end{vmatrix} = (24 - 8 + 16) - (4 + 48 - 16) = 32 - 36 = -4 \neq 0$$ Como el determinante es distinto de cero, $\text{rango}(A^*) = 3$. Dado que $\text{rango}(A) = 2 \neq \text{rango}(A^*) = 3$, el sistema es **Incompatible (SI)**. ✅ **Resultado a):** $$\boxed{\alpha = 4}$$

**c) Todas las soluciones del sistema cuando $\alpha = 2$. (4 puntos).** Si $\alpha = 2$, el sistema es: $$\begin{cases} -x + 2y + z = 4 \\ x + y - 2z = -4 \\ x + 4y - 3z = -4 \end{cases}$$ Analizamos los rangos: $|A| = 0$ y el menor $\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -3 \neq 0$, por lo que $\text{rango}(A) = 2$. Comprobamos el rango de $A^*$: $$\begin{vmatrix} -1 & 2 & 4 \\ 1 & 1 & -4 \\ 1 & 4 & -4 \end{vmatrix} = (4 - 8 + 16) - (4 + 16 - 8) = 12 - 12 = 0$$ Como $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 2 \lt n = 3$, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. Prescindimos de la tercera ecuación (por ser combinación lineal de las otras: $F_3 = F_1 + 2F_2$) y tomamos $z = \lambda$: $$\begin{cases} -x + 2y = 4 - \lambda \\ x + y = -4 + 2\lambda \end{cases}$$ Sumamos ambas ecuaciones: $$3y = \lambda \implies y = \frac{\lambda}{3}$$ Sustituimos $y$ en la segunda ecuación: $$x + \frac{\lambda}{3} = -4 + 2\lambda \implies x = -4 + 2\lambda - \frac{\lambda}{3} = -4 + \frac{5\lambda}{3}$$ Para evitar fracciones, podemos usar el cambio $z = 3\mu$: ✅ **Resultado c):** $$\boxed{\begin{cases} x = -4 + 5\mu \\ y = \mu \\ z = 3\mu \end{cases} \quad \forall \mu \in \mathbb{R}}$$ 💡 **Tip:** En sistemas con infinitas soluciones, siempre expresa las variables en función de un parámetro (generalmente $\lambda$ o $\mu$).