Estudio de función exponencial: cortes, inflexión y área

**a) Los puntos de corte de la curva $y = f(x)$ con el eje X. (2 puntos).** Para hallar los puntos de corte con el eje X, igualamos la función a cero ($y=0$): $$f(x) = xe^x - 3x = 0$$ Factorizamos la expresión extrayendo factor común $x$: $$x(e^x - 3) = 0$$ Esto nos da dos posibles soluciones: 1. $x = 0$ 2. $e^x - 3 = 0 \implies e^x = 3 \implies x = \ln 3$ Calculamos las ordenadas (que serán cero por definición de corte con el eje X): - Si $x=0 \implies y=0$ - Si $x=\ln 3 \implies y=0$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P_1(0, 0) \text{ y } P_2(\ln 3, 0)}$$

**b) El punto de inflexión de la curva $y = f(x)$, (2 puntos), así como la justificación razonada de que la función f es creciente cuando $x > 2$. (2 puntos).** Para hallar el punto de inflexión, calculamos la segunda derivada de $f(x) = xe^x - 3x$. Primera derivada (usando la regla del producto $(uv)' = u'v + uv'$): $$f'(x) = (1 \cdot e^x + x \cdot e^x) - 3 = (x+1)e^x - 3$$ Segunda derivada: $$f''(x) = (1 \cdot e^x + (x+1) \cdot e^x) = (x+1+1)e^x = (x+2)e^x$$ Buscamos los candidatos a punto de inflexión igualando $f''(x) = 0$: $$(x+2)e^x = 0$$ Como $e^x$ nunca es cero, la única solución es $x+2 = 0 \implies x = -2$. Estudiamos el signo de $f''(x)$ para confirmar el cambio de curvatura: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,-2) & -2 & (-2,+\infty)\\\hline x+2 & - & 0 & +\\ e^x & + & + & +\\ \hline f''(x) & - & 0 & + \end{array}$$ Como hay un cambio de signo en $x = -2$ (pasa de cóncava a convexa), es un punto de inflexión. Calculamos su ordenada: $$f(-2) = -2e^{-2} - 3(-2) = -\frac{2}{e^2} + 6$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{I\left(-2, 6 - \frac{2}{e^2}\right)}$$

Para justificar que la función es creciente cuando $x \gt 2$, debemos analizar el signo de la primera derivada $f'(x) = (x+1)e^x - 3$ en ese intervalo. Sabemos que $f''(x) = (x+2)e^x$. Para cualquier $x \gt -2$, $f''(x) \gt 0$, lo que significa que $f'(x)$ es una función estrictamente creciente en el intervalo $( -2, +\infty )$. Evaluamos $f'(x)$ en $x=2$: $$f'(2) = (2+1)e^2 - 3 = 3e^2 - 3$$ Como $e \approx 2.718$, entonces $e^2 \approx 7.39$, por lo que $f'(2) = 3(7.39) - 3 \approx 19.17 \gt 0$. Dado que $f'(x)$ es creciente para $x \gt -2$ y en $x=2$ ya es positiva, se cumple que: $$\text{Si } x \gt 2 \implies f'(x) \gt f'(2) \gt 0$$ Como $f'(x) \gt 0$ para todo $x \gt 2$, la función $f(x)$ es **creciente** en dicho intervalo. 💡 **Tip:** Recuerda que una función es creciente en un intervalo si su derivada es positiva en todos los puntos de ese intervalo.

**c) El área limitada por el eje X y la curva $y = f(x)$, cuando $0 \le x \le \ln 3$, donde ln significa logaritmo neperiano. (4 puntos).** El área viene dada por la integral definida de la función entre los límites $x=0$ y $x=\ln 3$. Debemos comprobar si la función cambia de signo en ese intervalo. En el apartado (a) vimos que los únicos cortes con el eje X son $0$ y $\ln 3$. Probemos un valor intermedio, por ejemplo $x=1$ (ya que $\ln 3 \approx 1.1$): $$f(1) = 1 \cdot e^1 - 3(1) = e - 3 \approx 2.71 - 3 = -0.29 \lt 0$$ Como la función es negativa en el intervalo $(0, \ln 3)$, el área será la integral de $-f(x)$: $$\text{Área} = \int_{0}^{\ln 3} -f(x) \, dx = \int_{0}^{\ln 3} (3x - xe^x) \, dx$$

Resolvemos la integral indefinida $\int (3x - xe^x) \, dx$: 1. $\int 3x \, dx = \frac{3x^2}{2}$ 2. $\int xe^x \, dx$: Usamos integración por partes $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. - Sea $u = x \implies du = dx$ - Sea $dv = e^x dx \implies v = e^x$ - $\int xe^x \, dx = xe^x - \int e^x \, dx = xe^x - e^x = e^x(x-1)$ Por tanto, la primitiva es $G(x) = \frac{3x^2}{2} - e^x(x-1)$. Aplicamos la Regla de Barrow: $$\text{Área} = \left[ \frac{3x^2}{2} - e^x(x-1) \right]_{0}^{\ln 3}$$ Evaluamos en el límite superior ($x = \ln 3$): $$G(\ln 3) = \frac{3(\ln 3)^2}{2} - e^{\ln 3}(\ln 3 - 1) = \frac{3(\ln 3)^2}{2} - 3(\ln 3 - 1) = \frac{3(\ln 3)^2}{2} - 3 \ln 3 + 3$$ Evaluamos en el límite inferior ($x = 0$): $$G(0) = \frac{3(0)^2}{2} - e^0(0-1) = 0 - 1(-1) = 1$$ Calculamos el valor final: $$\text{Área} = G(\ln 3) - G(0) = \left( \frac{3(\ln 3)^2}{2} - 3 \ln 3 + 3 \right) - 1 = \frac{3(\ln 3)^2}{2} - 3 \ln 3 + 2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{3(\ln 3)^2}{2} - 3 \ln 3 + 2 \approx 0.517 \text{ u}^2}$$