Geometría en el espacio: planos perpendiculares, distancias y puntos en una recta

**a) Las ecuaciones de los planos $\pi_1$ y $\pi_2$ que son perpendiculares a la recta r que pasa por los puntos A y B, sabiendo que el plano $\pi_1$ pasa por el punto A y el plano $\pi_2$ pasa por el punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos A y B. (4 puntos distribuidos en 2 puntos por cada plano).** Primero, necesitamos hallar el vector director de la recta $r$ que pasa por $A(1, 5, 7)$ y $B(3, -1, -1)$. Este vector será el vector normal de cualquier plano perpendicular a la recta. Calculamos el vector $\vec{AB}$: $$\vec{v}_r = \vec{AB} = B - A = (3-1, -1-5, -1-7) = (2, -6, -8)$$ Podemos simplificar el vector director (y por tanto el normal) dividiendo por $2$: $$\vec{n} = (1, -3, -4)$$ Calculamos ahora el punto medio $M$ del segmento $AB$: $$M = \frac{A+B}{2} = \left( \frac{1+3}{2}, \frac{5-1}{2}, \frac{7-1}{2} \right) = \left( \frac{4}{2}, \frac{4}{2}, \frac{6}{2} \right) = (2, 2, 3)$$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta que pasa por dos puntos es la resta de sus coordenadas. Si un plano es perpendicular a una recta, el vector director de la recta coincide con el vector normal del plano. $$\vec{n} = (1, -3, -4), \quad M = (2, 2, 3)$$

El plano $\pi_1$ tiene como vector normal $\vec{n} = (1, -3, -4)$ y pasa por $A(1, 5, 7)$. La ecuación general del plano es $Ax + By + Cz + D = 0$. Sustituimos las coordenadas del vector normal: $$1x - 3y - 4z + D = 0$$ Para hallar $D$, sustituimos el punto $A(1, 5, 7)$: $$1(1) - 3(5) - 4(7) + D = 0 \implies 1 - 15 - 28 + D = 0 \implies -42 + D = 0 \implies D = 42$$ ✅ **Resultado (Plano $\pi_1$):** $$\boxed{\pi_1: x - 3y - 4z + 42 = 0}$$

El plano $\pi_2$ tiene el mismo vector normal $\vec{n} = (1, -3, -4)$ y pasa por el punto medio $M(2, 2, 3)$. Usamos de nuevo la ecuación general: $$1x - 3y - 4z + D = 0$$ Sustituimos el punto $M(2, 2, 3)$: $$1(2) - 3(2) - 4(3) + D = 0 \implies 2 - 6 - 12 + D = 0 \implies -16 + D = 0 \implies D = 16$$ ✅ **Resultado (Plano $\pi_2$):** $$\boxed{\pi_2: x - 3y - 4z + 16 = 0}$$

**b) La distancia entre los planos $\pi_1$ y $\pi_2$. (2 puntos).** Como los planos son paralelos (tienen el mismo vector normal), podemos usar la fórmula de la distancia entre dos planos paralelos del tipo $Ax+By+Cz+D_1=0$ y $Ax+By+Cz+D_2=0$: $$d(\pi_1, \pi_2) = \frac{|D_1 - D_2|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Sustituimos los valores obtenidos: $$d(\pi_1, \pi_2) = \frac{|42 - 16|}{\sqrt{1^2 + (-3)^2 + (-4)^2}} = \frac{26}{\sqrt{1 + 9 + 16}} = \frac{26}{\sqrt{26}}$$ Racionalizando el resultado: $$\frac{26}{\sqrt{26}} = \frac{26\sqrt{26}}{26} = \sqrt{26}$$ 💡 **Tip:** También podrías calcular la distancia de un punto de $\pi_1$ (como el punto $A$) al plano $\pi_2$ usando la fórmula de distancia punto-plano. ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(\pi_1, \pi_2) = \sqrt{26} \text{ unidades}}$$

**c) Las ecuaciones de la recta r que pasa por los puntos A y B, (2 puntos), y los puntos de la recta r que están a distancia 3 del punto $C = ( 1, 0, 1 )$. (2 puntos).** Para definir la recta $r$ usamos el punto $A(1, 5, 7)$ y el vector director simplificado $\vec{v}_r = (1, -3, -4)$. En forma paramétrica: $$\begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 5 - 3\lambda \\ z = 7 - 4\lambda \end{cases}$$ ✅ **Resultado (Ecuación de la recta $r$):** $$\boxed{r: (x, y, z) = (1, 5, 7) + \lambda(1, -3, -4)}$$

Cualquier punto $P$ de la recta $r$ tiene la forma $P(1+\lambda, 5-3\lambda, 7-4\lambda)$. Queremos que la distancia de $P$ a $C(1, 0, 1)$ sea $3$. La fórmula de la distancia entre dos puntos es: $$d(P, C) = \sqrt{(x_P - x_C)^2 + (y_P - y_C)^2 + (z_P - z_C)^2} = 3$$ Elevamos al cuadrado y sustituimos las coordenadas: $$(1+\lambda - 1)^2 + (5-3\lambda - 0)^2 + (7-4\lambda - 1)^2 = 3^2$$ $$\lambda^2 + (5-3\lambda)^2 + (6-4\lambda)^2 = 9$$ Desarrollamos los productos notables: $$\lambda^2 + (25 - 30\lambda + 9\lambda^2) + (36 - 48\lambda + 16\lambda^2) = 9$$ $$26\lambda^2 - 78\lambda + 61 = 9 \implies 26\lambda^2 - 78\lambda + 52 = 0$$ Simplificamos dividiendo entre $26$: $$\lambda^2 - 3\lambda + 2 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$\lambda = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(2)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$$ Obtenemos dos valores para $\lambda$: $\lambda_1 = 2$ y $\lambda_2 = 1$. Sustituimos en las ecuaciones de la recta: - Para $\lambda = 1: P_1 = (1+1, 5-3, 7-4) = (2, 2, 3)$ - Para $\lambda = 2: P_2 = (1+2, 5-6, 7-8) = (3, -1, -1)$ ✅ **Resultado (Puntos buscados):** $$\boxed{P_1(2, 2, 3) \text{ y } P_2(3, -1, -1)}$$