Determinantes, matriz inversa y propiedades de las matrices

**a) El valor del determinante de la matriz $S = \begin{pmatrix} 2 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 3 & 5 \end{pmatrix}$, (2 puntos) y la matriz $S^{-1}$, que es la matriz inversa de la matriz S. (2 puntos). Indicar la relación entre que el valor del determinante de una matriz S sea o no nulo y la propiedad de que esta matriz admita matriz inversa $S^{-1}$. (1 punto).** Calculamos el determinante de $S$ mediante la regla de Sarrus: $$|S| = \begin{vmatrix} 2 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 3 & 5 \end{vmatrix} = [ (2)(1)(5) + (-2)(1)(-1) + (1)(1)(3) ] - [ (-1)(1)(1) + (3)(1)(2) + (5)(1)(-2) ]$$ Operamos los productos: $$|S| = [ 10 + 2 + 3 ] - [ -1 + 6 - 10 ]$$ $$|S| = 15 - (-5) = 15 + 5 = 20$$ 💡 **Tip:** La regla de Sarrus consiste en sumar los productos de la diagonal principal y sus paralelas, y restar los productos de la diagonal secundaria y sus paralelas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{|S| = 20}$$

Para calcular $S^{-1}$ utilizamos la fórmula: $$S^{-1} = \frac{1}{|S|} \cdot \text{Adj}(S^t)$$ Primero, calculamos la matriz traspuesta $S^t$: $$S^t = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ -2 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 5 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos la matriz adjunta de la traspuesta (matriz de cofactores de $S^t$): $A_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} = 2; \quad A_{12} = -\begin{vmatrix} -2 & 3 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} = 13; \quad A_{13} = +\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -3$ $A_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} = -6; \quad A_{22} = +\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} = 11; \quad A_{23} = -\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1$ $A_{31} = +\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 4; \quad A_{32} = -\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -2 & 3 \end{vmatrix} = -4; \quad A_{33} = +\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = 4$ La matriz adjunta es: $$\text{Adj}(S^t) = \begin{pmatrix} 2 & 13 & -3 \\ -6 & 11 & -1 \\ 4 & -4 & 4 \end{pmatrix}$$ Finalmente: $$S^{-1} = \frac{1}{20} \begin{pmatrix} 2 & 13 & -3 \\ -6 & 11 & -1 \\ 4 & -4 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/10 & 13/20 & -3/20 \\ -3/10 & 11/20 & -1/20 \\ 1/5 & -1/5 & 1/5 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{S^{-1} = \begin{pmatrix} 0.1 & 0.65 & -0.15 \\ -0.3 & 0.55 & -0.05 \\ 0.2 & -0.2 & 0.2 \end{pmatrix}}$$

Se nos pide indicar la relación entre la nulidad del determinante y la existencia de la inversa. Una matriz cuadrada $S$ admite matriz inversa $S^{-1}$ si y solo si su determinante es distinto de cero ($|S| \neq 0$). - Si $|S| \neq 0$, la matriz se denomina **regular** o no singular y posee inversa. - Si $|S| = 0$, la matriz se denomina **singular** y no posee inversa. En este caso, como $|S| = 20 \neq 0$, hemos podido calcular $S^{-1}$.

**b) El determinante de la matriz $(4(T^2))^{-1}$, sabiendo que T es una matriz cuadrada de 3 filas y que 20 es el valor del determinante de dicha matriz T. (3 puntos).** Aplicamos las propiedades de los determinantes paso a paso: 1. Propiedad del determinante de la inversa: $|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$ $$|(4T^2)^{-1}| = \frac{1}{|4T^2|}$$ 2. Propiedad del producto por un escalar ($n=3$ dimensiones): $|k \cdot A| = k^n \cdot |A|$ $$|4T^2| = 4^3 \cdot |T^2| = 64 \cdot |T^2|$$ 3. Propiedad del determinante del producto (o potencia): $|T^k| = |T|^k$ $$|T^2| = |T|^2 = 20^2 = 400$$ Sustituimos los valores: $$|4T^2| = 64 \cdot 400 = 25600$$ Por tanto: $$|(4T^2)^{-1}| = \frac{1}{25600}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que al sacar un número fuera de un determinante de orden $n$, este sale elevado a la $n$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{|(4T^2)^{-1}| = \frac{1}{25600} \approx 3.90625 \cdot 10^{-5}}$$

**c) La solución $a$ de la ecuación $\begin{vmatrix} a & a^2 - 1 & -3 \\ a+1 & 2 & a^2 + 4 \\ -3 & 4a & 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & a+1 & -3 \\ a^2 - 1 & 2 & 4a \\ -3 & a^2 + 4 & 1 \end{vmatrix}$. (2 puntos).** Analizamos las matrices de ambos determinantes. Llamemos $M$ a la matriz del primer determinante: $$M = \begin{pmatrix} a & a^2 - 1 & -3 \\ a+1 & 2 & a^2 + 4 \\ -3 & 4a & 1 \end{pmatrix}$$ Observemos la matriz del segundo determinante. Sus filas son: - Fila 1: $(a, a+1, -3)$, que es la primera **columna** de $M$. - Fila 2: $(a^2 - 1, 2, 4a)$, que es la segunda **columna** de $M$. - Fila 3: $(-3, a^2 + 4, 1)$, que es la tercera **columna** de $M$. Esto significa que la segunda matriz es exactamente la traspuesta de la primera ($M^t$). Sabemos por las propiedades de los determinantes que **el determinante de una matriz es igual al determinante de su traspuesta**: $$|M| = |M^t|$$ La ecuación planteada es $|M| = |M|$, que es una identidad. Esto significa que la igualdad se cumple para cualquier valor de $a$ para el cual las expresiones estén definidas. 💡 **Tip:** No es necesario desarrollar los determinantes por Sarrus si detectas que uno es la traspuesta del otro. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a \in \mathbb{R} \text{ (Cualquier número real)}}$$