Álgebra 2014 Madrid
Sistema de ecuaciones: Precio de material escolar
Ejercicio 4 . Calificación máxima: 2 puntos.
Por la compra de cinco cuadernos, dos rotuladores y tres bolígrafos se han pagado veintidós euros. Si se compran dos cuadernos, un rotulador y seis bolígrafos, el coste es de catorce euros. Se pide:
a) (1 punto) Expresar, en función del precio de un bolígrafo, lo que costaría un cuaderno y lo que costaría un rotulador.
b) (1 punto) Calcular lo que deberíamos pagar si adquirimos ocho cuadernos y tres rotuladores.
Paso 1
Definición de variables y planteamiento del sistema
**a) (1 punto) Expresar, en función del precio de un bolígrafo, lo que costaría un cuaderno y lo que costaría un rotulador.**
En primer lugar, definimos las incógnitas del problema asociándolas a los precios unitarios de cada artículo:
- $x$: precio de un cuaderno (en euros).
- $y$: precio de un rotulador (en euros).
- $z$: precio de un bolígrafo (en euros).
Traducimos la información del enunciado en un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas:
1. Por cinco cuadernos, dos rotuladores y tres bolígrafos pagamos $22€$:
$$5x + 2y + 3z = 22$$
2. Por dos cuadernos, un rotulador y seis bolígrafos pagamos $14€$:
$$2x + y + 6z = 14$$
💡 **Tip:** Como tenemos 2 ecuaciones y 3 incógnitas, el sistema es compatible indeterminado. Esto significa que podemos expresar dos de las variables en función de la tercera (en este caso, $z$).
Paso 2
Resolución del sistema en función de z
Para expresar $x$ e $y$ en función de $z$, utilizaremos el método de sustitución, ya que es el más directo en este caso.
De la segunda ecuación, despejamos $y$:
$$y = 14 - 2x - 6z$$
Ahora, sustituimos esta expresión de $y$ en la primera ecuación:
$$5x + 2(14 - 2x - 6z) + 3z = 22$$
Desarrollamos el paréntesis y agrupamos términos:
$$5x + 28 - 4x - 12z + 3z = 22$$
$$x - 9z + 28 = 22$$
Despejamos $x$:
$$x = 22 - 28 + 9z \implies x = 9z - 6$$
Una vez obtenido $x$, volvemos a la expresión de $y$ para sustituirlo:
$$y = 14 - 2(9z - 6) - 6z$$
$$y = 14 - 18z + 12 - 6z$$
$$y = 26 - 24z$$
✅ **Resultado (a):**
$$\boxed{x = 9z - 6, \quad y = 26 - 24z}$$
Paso 3
Cálculo del coste de la nueva compra
**b) (1 punto) Calcular lo que deberíamos pagar si adquirimos ocho cuadernos y tres rotuladores.**
Se nos pide calcular el coste total $C$, que viene dado por la expresión:
$$C = 8x + 3y$$
Utilizamos las expresiones de $x$ e $y$ en función de $z$ que hallamos en el apartado anterior:
$$C = 8(9z - 6) + 3(26 - 24z)$$
Operamos para simplificar la expresión:
$$C = 72z - 48 + 78 - 72z$$
Sumamos los términos semejantes:
$$C = (72z - 72z) + (78 - 48)$$
$$C = 30$$
Observamos que el término $z$ desaparece, lo que indica que el precio total de esta combinación específica de artículos no depende del precio del bolígrafo.
✅ **Resultado (b):**
$$\boxed{30 \text{ euros}}$$