Invertibilidad de una matriz con parámetros y cálculo de la matriz inversa

**a) (1 punto) Hallar el valor o valores de $a$ para que la matriz $A$ tenga inversa.** Para que una matriz cuadrada $A$ tenga inversa ($A^{-1}$), su determinante debe ser distinto de cero ($|A| \neq 0$). Por tanto, el primer paso es calcular el determinante de la matriz $A$ en función del parámetro $a$. 💡 **Tip:** Una matriz es invertible (o regular) si y solo si su determinante no es nulo. Si el determinante es cero, la matriz se llama singular.

Calculamos el determinante de la matriz $A$ aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} -1 & -1 & a \\ -3 & 2 & a \\ 0 & a & -1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [(-1) \cdot 2 \cdot (-1) + (-3) \cdot a \cdot a + (-1) \cdot a \cdot 0] - [0 \cdot 2 \cdot a + a \cdot a \cdot (-1) + (-3) \cdot (-1) \cdot (-1)]$$ $$|A| = [2 - 3a^2 + 0] - [0 - a^2 - 3]$$ $$|A| = 2 - 3a^2 + a^2 + 3 = 5 - 2a^2$$ 💡 **Tip:** Recuerda multiplicar con cuidado los signos. En la regla de Sarrus, sumamos los productos de la diagonal principal y sus paralelas, y restamos los de la diagonal secundaria y sus paralelas. $$\boxed{|A| = 5 - 2a^2}$$

Para hallar cuándo **no** existe la inversa, igualamos el determinante a cero: $$|A| = 0 \implies 5 - 2a^2 = 0$$ $$2a^2 = 5 \implies a^2 = \frac{5}{2} \implies a = \pm \sqrt{\frac{5}{2}}$$ Racionalizando el resultado: $$a = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{10}}{2}$$ Por tanto, la matriz $A$ tiene inversa para cualquier valor de $a$ excepto para $a = \frac{\sqrt{10}}{2}$ y $a = -\frac{\sqrt{10}}{2}$. ✅ **Resultado (Apartado a):** $$\boxed{\text{La matriz } A \text{ tiene inversa para todo } a \in \mathbb{R} \setminus \left\{ -\frac{\sqrt{10}}{2}, \frac{\sqrt{10}}{2} \right\}}$$

**b) (1 punto) Calcular la matriz inversa $A^{-1}$ de $A$, en el caso $a = 2$.** Primero, comprobamos si para $a=2$ existe inversa calculando su determinante (usando la expresión obtenida en el apartado anterior): $$|A| = 5 - 2(2)^2 = 5 - 2(4) = 5 - 8 = -3$$ Como $|A| = -3 \neq 0$, la matriz es invertible. La matriz para $a=2$ es: $$A = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 2 \\ -3 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \end{pmatrix}$$

Calculamos cada uno de los adjuntos $A_{ij}$ de la matriz $A$: $A_{11} = +\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -2 - 4 = -6$ $A_{12} = -\begin{vmatrix} -3 & 2 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = -(3 - 0) = -3$ $A_{13} = +\begin{vmatrix} -3 & 2 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -6 - 0 = -6$ $A_{21} = -\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -(1 - 4) = 3$ $A_{22} = +\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = 1 - 0 = 1$ $A_{23} = -\begin{vmatrix} -1 & -1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -(-2 - 0) = 2$ $A_{31} = +\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = -2 - 4 = -6$ $A_{32} = -\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ -3 & 2 \end{vmatrix} = -(-2 - (-6)) = -4$ $A_{33} = +\begin{vmatrix} -1 & -1 \\ -3 & 2 \end{vmatrix} = -2 - 3 = -5$ La matriz adjunta es: $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} -6 & -3 & -6 \\ 3 & 1 & 2 \\ -6 & -4 & -5 \end{pmatrix}$$

La fórmula para la matriz inversa es: $$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot (\text{Adj}(A))^t$$ Transponemos la matriz adjunta: $$(\text{Adj}(A))^t = \begin{pmatrix} -6 & 3 & -6 \\ -3 & 1 & -4 \\ -6 & 2 & -5 \end{pmatrix}$$ Dividimos cada elemento por $|A| = -3$: $$A^{-1} = \frac{1}{-3} \begin{pmatrix} -6 & 3 & -6 \\ -3 & 1 & -4 \\ -6 & 2 & -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 2 \\ 1 & -1/3 & 4/3 \\ 2 & -2/3 & 5/3 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $(Adj(A))^t$ es la matriz donde las filas de la adjunta pasan a ser columnas. ✅ **Resultado (Apartado b):** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 2 \\ 1 & -1/3 & 4/3 \\ 2 & -2/3 & 5/3 \end{pmatrix}}$$