Posición relativa, planos y rectas en el espacio

**a) (1 punto) Estudiar la posición relativa de $r$ y $\pi$.** Para estudiar la posición relativa de una recta $r$ y un plano $\pi$, extraemos primero sus elementos característicos. El plano $\pi \equiv 2x - y - 2 = 0$ tiene como vector normal: $$\vec{n_\pi} = (2, -1, 0)$$ Para la recta $r$, obtenemos sus ecuaciones paramétricas despejando a partir de sus ecuaciones implícitas. Si hacemos $z = \lambda$: $$r \equiv \begin{cases} x = 1 \\ y = 2 + 2\lambda \\ z = \lambda \end{cases}$$ De aquí obtenemos un punto $P_r$ y el vector director $\vec{v_r}$: $$P_r(1, 2, 0), \quad \vec{v_r} = (0, 2, 1)$$ Ahora calculamos el producto escalar entre el vector director de la recta y el normal del plano: $$\vec{v_r} \cdot \vec{n_\pi} = (0, 2, 1) \cdot (2, -1, 0) = 0 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 = -2$$ Como el producto escalar **no es cero** ($\vec{v_r} \cdot \vec{n_\pi} \neq 0$), el vector director de la recta no es perpendicular al normal del plano. Esto significa que la recta no es paralela ni está contenida en el plano. 💡 **Tip:** Si el producto escalar de $\vec{v_r}$ y $\vec{n_\pi}$ es cero, la recta es paralela al plano o está contenida. Si es distinto de cero, se cortan en un punto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La recta } r \text{ y el plano } \pi \text{ se cortan en un único punto (son secantes).}}$$

**b) (1 punto) Determinar el plano que contiene a $r$ y es perpendicular a $\pi$.** Sea $\alpha$ el plano buscado. Para que $\alpha$ contenga a $r$, debe pasar por $P_r(1, 2, 0)$ y tener como vector director $\vec{v_r} = (0, 2, 1)$. Además, si $\alpha$ es perpendicular a $\pi$, el vector normal de $\pi$, $\vec{n_\pi} = (2, -1, 0)$, debe ser paralelo al plano $\alpha$. Por tanto, los vectores directores de $\alpha$ son $\vec{v_r}$ y $\vec{n_\pi}$. La ecuación del plano $\alpha$ se obtiene mediante el determinante: $$\begin{vmatrix} x - 1 & y - 2 & z - 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \end{vmatrix} = 0$$ Resolvemos desarrollando por la primera fila: $$(x - 1) \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} - (y - 2) \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} + z \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = 0$$ $$(x - 1)(0 - (-1)) - (y - 2)(0 - 2) + z(0 - 4) = 0$$ $$(x - 1)(1) - (y - 2)(-2) + z(-4) = 0$$ $$x - 1 + 2y - 4 - 4z = 0 \Rightarrow x + 2y - 4z - 5 = 0$$ 💡 **Tip:** Un plano queda determinado por un punto y dos vectores directores no colineales. En este caso, al ser perpendicular a otro plano, "hereda" su vector normal como dirección propia. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\alpha \equiv x + 2y - 4z - 5 = 0}$$

**c) (1 punto) Determinar la recta que pasa por $A(-2, 1, 0)$, corta a $r$, y es paralela a $\pi$.** Buscamos una recta $s$. Como $s$ corta a $r$, existirá un punto de intersección $Q$ que pertenece a $r$. Usando las ecuaciones paramétricas de $r$ del apartado (a), el punto $Q$ tiene la forma: $$Q(1, 2 + 2\lambda, \lambda)$$ El vector director de la recta $s$ será el vector $\vec{AQ}$: $$\vec{v_s} = \vec{AQ} = Q - A = (1 - (-2), 2 + 2\lambda - 1, \lambda - 0) = (3, 1 + 2\lambda, \lambda)$$ Para que la recta $s$ sea **paralela** al plano $\pi$, su vector director $\vec{v_s}$ debe ser perpendicular al vector normal del plano $\vec{n_\pi} = (2, -1, 0)$. Por tanto, su producto escalar debe ser cero: $$\vec{v_s} \cdot \vec{n_\pi} = 0$$ $$(3, 1 + 2\lambda, \lambda) \cdot (2, -1, 0) = 0$$ $$3(2) + (1 + 2\lambda)(-1) + \lambda(0) = 0$$ $$6 - 1 - 2\lambda = 0 \Rightarrow 5 = 2\lambda \Rightarrow \lambda = \frac{5}{2}$$ Sustituimos $\lambda$ en el vector $\vec{v_s}$: $$\vec{v_s} = (3, 1 + 2\cdot \frac{5}{2}, \frac{5}{2}) = (3, 6, 2.5)$$ Para evitar decimales, podemos multiplicar el vector por 2: $\vec{v_s} = (6, 12, 5)$. La recta $s$ pasa por $A(-2, 1, 0)$ con vector director $(6, 12, 5)$: $$s \equiv \frac{x+2}{6} = \frac{y-1}{12} = \frac{z}{5}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{s \equiv \begin{cases} x = -2 + 6\mu \\ y = 1 + 12\mu \\ z = 5\mu \end{cases}}$$