Función a trozos: límites, continuidad y derivabilidad

**a) (1 punto) Calcular $\lim_{x \to \infty} f(x)$ y $\lim_{x \to -\infty} f(x)$.** Para calcular el límite cuando $x \to \infty$, utilizamos la rama de la función definida para $x \ge 0$: $$\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} x^2 e^{-x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x}$$ Observamos que se trata de una indeterminación de tipo $\frac{\infty}{\infty}$. Aplicamos la **regla de L'Hôpital**, derivando numerador y denominador: $$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x} \stackrel{H}{=} \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{e^x}$$ Persiste la indeterminación $\frac{\infty}{\infty}$, por lo que aplicamos L'Hôpital una segunda vez: $$\lim_{x \to \infty} \frac{2x}{e^x} \stackrel{H}{=} \lim_{x \to \infty} \frac{2}{e^x} = \frac{2}{\infty} = 0$$ 💡 **Tip:** El crecimiento de una función exponencial $e^x$ siempre es superior al de cualquier potencia $x^n$ cuando $x \to \infty$, lo que permite anticipar que el límite será 0. $$\boxed{\lim_{x \to \infty} f(x) = 0}$$

Para el límite cuando $x \to -\infty$, utilizamos la rama definida para $x < 0$: $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} (a + \ln(1 - x))$$ Analizamos el argumento del logaritmo: Si $x \to -\infty$, entonces $(1 - x) \to (1 - (-\infty)) = \infty$. Por tanto: $$\lim_{x \to -\infty} (a + \ln(1 - x)) = a + \ln(\infty) = \infty$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{\lim_{x \to \infty} f(x) = 0, \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty}$$

**b) (1 punto) Calcular el valor de $a$, para que $f(x)$ sea continua en todo $\mathbf{R}$.** Analizamos la continuidad en cada intervalo: 1. Si $x < 0$, $f(x) = a + \ln(1-x)$ es continua pues el argumento $1-x$ es siempre positivo. 2. Si $x > 0$, $f(x) = x^2 e^{-x}$ es continua por ser producto de un polinomio y una exponencial. El único punto de posible discontinuidad es el punto de salto entre ramas, **$x = 0$**. Para que sea continua en $x = 0$ debe cumplirse: $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$$ Calculamos los límites laterales y el valor de la función: - Límite por la izquierda ($x \to 0^-$): $$\lim_{x \to 0^-} (a + \ln(1-x)) = a + \ln(1) = a + 0 = a$$ - Límite por la derecha ($x \to 0^+$) y valor en el punto: $$f(0) = \lim_{x \to 0^+} x^2 e^{-x} = 0^2 \cdot e^0 = 0 \cdot 1 = 0$$ Igualando ambos resultados: $$\boxed{a = 0}$$ 💡 **Tip:** Una función definida a trozos es continua si los valores de las ramas coinciden en los puntos de unión.

**c) (1 punto) Estudiar la derivabilidad de $f$ y calcular $f'$, donde sea posible.** Para estudiar la derivabilidad, primero debemos asegurar la continuidad, por lo que suponemos **$a = 0$**. Derivamos cada rama de forma independiente para $x \neq 0$: - Para $x < 0$: $$f(x) = \ln(1-x) \implies f'(x) = \frac{(1-x)'}{1-x} = \frac{-1}{1-x}$$ - Para $x > 0$: Utilizamos la regla del producto $(uv)' = u'v + uv'$: $$f(x) = x^2 e^{-x} \implies f'(x) = 2x e^{-x} + x^2 (e^{-x} \cdot (-1)) = (2x - x^2)e^{-x}$$ La función derivada provisional es: $$f'(x) = \begin{cases} \dfrac{-1}{1-x} & \text{si } x < 0 \\ (2x - x^2)e^{-x} & \text{si } x > 0 \end{cases}$$

Para comprobar si $f(x)$ es derivable en $x = 0$, calculamos los límites de la derivada (derivadas laterales): - Derivada lateral izquierda: $$f'(0^-) = \lim_{x \to 0^-} \frac{-1}{1-x} = \frac{-1}{1} = -1$$ - Derivada lateral derecha: $$f'(0^+) = \lim_{x \to 0^+} (2x - x^2)e^{-x} = (0 - 0)e^0 = 0$$ Como $f'(0^-) \neq f'(0^+)$, la función **no es derivable en $x = 0$** (presenta un punto anguloso). 💡 **Tip:** No olvides que para que una función sea derivable en un punto, las derivadas laterales deben existir y ser iguales.

La función es derivable en $\mathbb{R} \setminus \{0\}$. La expresión de la función derivada es: $$\boxed{f'(x) = \begin{cases} \dfrac{-1}{1-x} & \text{si } x < 0 \\ (2x - x^2)e^{-x} & \text{si } x > 0 \end{cases}}$$ Para $x = 0$ la función no es derivable.