Cálculo de límites. Regla de L'Hôpital y límites al infinito

**a) $\lim_{x \to 0} \frac{1 - 2x - e^x + \operatorname{sen}(3x)}{x^2}$.** Primero, evaluamos el límite sustituyendo $x=0$ para ver si existe una indeterminación: $$\lim_{x \to 0} \frac{1 - 2x - e^x + \operatorname{sen}(3x)}{x^2} = \frac{1 - 2(0) - e^0 + \operatorname{sen}(0)}{0^2} = \frac{1 - 0 - 1 + 0}{0} = \frac{0}{0}$$ Obtenemos una **indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$**. Como las funciones del numerador y denominador son derivables en un entorno de $0$, podemos aplicar la **regla de L'Hôpital**. 💡 **Tip:** La regla de L'Hôpital nos dice que $\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ siempre que el límite de las derivadas exista.

Derivamos el numerador y el denominador de forma independiente: - Derivada del numerador: $\frac{d}{dx}(1 - 2x - e^x + \operatorname{sen}(3x)) = -2 - e^x + 3\cos(3x)$ - Derivada del denominador: $\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$ Aplicamos el límite: $$\lim_{x \to 0} \frac{1 - 2x - e^x + \operatorname{sen}(3x)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{-2 - e^x + 3\cos(3x)}{2x}$$ Evaluamos de nuevo en $x=0$: $$\frac{-2 - e^0 + 3\cos(0)}{2(0)} = \frac{-2 - 1 + 3(1)}{0} = \frac{0}{0}$$ Volvemos a obtener la **indeterminación $\frac{0}{0}$**, por lo que aplicaremos la regla de L'Hôpital una segunda vez.

Derivamos de nuevo: - Derivada del numerador: $\frac{d}{dx}(-2 - e^x + 3\cos(3x)) = -e^x - 9\operatorname{sen}(3x)$ - Derivada del denominador: $\frac{d}{dx}(2x) = 2$ Aplicamos el límite: $$\lim_{x \to 0} \frac{-2 - e^x + 3\cos(3x)}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{-e^x - 9\operatorname{sen}(3x)}{2}$$ Evaluamos finalmente sustituyendo $x=0$: $$\lim_{x \to 0} \frac{-e^0 - 9\operatorname{sen}(0)}{2} = \frac{-1 - 0}{2} = -\frac{1}{2}$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{\lim_{x \to 0} \frac{1 - 2x - e^x + \operatorname{sen}(3x)}{x^2} = -\frac{1}{2}}$$

**b) $\lim_{x \to \infty} \frac{(5x^2 + 2)(x - 6)}{(x^2 - 1)(2x - 1)}$.** Observamos que el límite tiende a infinito, lo que genera una indeterminación del tipo $\frac{\infty}{\infty}$. Para resolverlo, analizamos el grado de los polinomios en el numerador y el denominador. Desarrollamos los términos de mayor grado para simplificar el estudio: - **Numerador:** $(5x^2 + 2)(x - 6) = 5x^3 - 30x^2 + 2x - 12$. El término de mayor grado es **$5x^3$**. - **Denominador:** $(x^2 - 1)(2x - 1) = 2x^3 - x^2 - 2x + 1$. El término de mayor grado es **$2x^3$**. 💡 **Tip:** En límites al infinito de cocientes de polinomios, si los grados son iguales, el resultado es el cociente de los coeficientes principales.

Para justificar el cálculo, dividimos todos los términos por la máxima potencia de $x$ presente en el denominador ($x^3$): $$\lim_{x \to \infty} \frac{5x^3 - 30x^2 + 2x - 12}{2x^3 - x^2 - 2x + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5x^3}{x^3} - \frac{30x^2}{x^3} + \frac{2x}{x^3} - \frac{12}{x^3}}{\frac{2x^3}{x^3} - \frac{x^2}{x^3} - \frac{2x}{x^3} + \frac{1}{x^3}}$$ $$\lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{30}{x} + \frac{2}{x^2} - \frac{12}{x^3}}{2 - \frac{1}{x} - \frac{2}{x^2} + \frac{1}{x^3}}$$ Como $\lim_{x \to \infty} \frac{k}{x^n} = 0$ para cualquier constante $k$ y $n \gt 0$, tenemos: $$\frac{5 - 0 + 0 - 0}{2 - 0 - 0 + 0} = \frac{5}{2}$$ ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{\lim_{x \to \infty} \frac{(5x^2 + 2)(x - 6)}{(x^2 - 1)(2x - 1)} = \frac{5}{2}}$$