Punto de inflexión, recta tangente y cálculo de áreas

**a) (1 punto) Sea $f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ una función dos veces derivable. Sabiendo que el punto de abscisa $x = -2$ es un punto de inflexión de la gráfica de $f(x)$ y que la recta de ecuación $y = 16x + 16$ es tangente a la gráfica de $f(x)$ en dicho punto, determinar: $f(-2), f'(-2)$ y $f''(-2)$.** El enunciado nos indica que la recta $y = 16x + 16$ es tangente a la gráfica de $f(x)$ en el punto de abscisa $x = -2$. Esto implica que el punto de tangencia es compartido por la función y la recta. Calculamos la ordenada sustituyendo $x = -2$ en la ecuación de la recta tangente: $$y = 16(-2) + 16 = -32 + 16 = -16.$$ Como el punto $(-2, -16)$ pertenece a la gráfica de $f$, tenemos: $$\boxed{f(-2) = -16}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si una recta es tangente a una función en un punto, ambos comparten la misma imagen en ese valor de $x$.

Para encontrar $f'(-2)$, utilizamos el hecho de que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto $x = a$ es igual a la derivada $f'(a)$. La recta tangente es $y = 16x + 16$, cuya pendiente es $m = 16$. Por lo tanto: $$\boxed{f'(-2) = 16}$$ Por otro lado, se nos indica que $x = -2$ es un **punto de inflexión**. En los puntos de inflexión de funciones dos veces derivables, la segunda derivada se anula: $$\boxed{f''(-2) = 0}$$ 💡 **Tip:** En un punto de inflexión, la curvatura cambia y, si la función es dos veces derivable, la condición necesaria es que $f''(x) = 0$.

**b) (1 punto) Determinar el área de la región acotada limitada por la gráfica de la función $g(x) = x^4 + 4x^3$ y el eje $OX$.** Para hallar el área, primero necesitamos encontrar los puntos de corte de la función $g(x) = x^4 + 4x^3$ con el eje $OX$ (donde $y=0$): $$x^4 + 4x^3 = 0$$ Factorizamos extrayendo factor común $x^3$: $$x^3(x + 4) = 0$$ Esto nos da dos soluciones: 1. $x^3 = 0 \implies x = 0$ 2. $x + 4 = 0 \implies x = -4$ Los límites de integración para calcular el área serán **$x = -4$** y **$x = 0$**. 💡 **Tip:** Para delimitar recintos con el eje $OX$, siempre debemos igualar la función a cero y resolver la ecuación resultante.

Debemos calcular la integral definida de la función entre los límites hallados. Evaluamos el signo de la función en el intervalo $(-4, 0)$ tomando un punto de prueba, por ejemplo $x = -1$: $$g(-1) = (-1)^4 + 4(-1)^3 = 1 - 4 = -3.$$ Como la función es negativa en este intervalo, el área será el valor absoluto de la integral: $$\text{Área} = \left| \int_{-4}^{0} (x^4 + 4x^3) \, dx \right|$$ Calculamos la primitiva de la función: $$\int (x^4 + 4x^3) \, dx = \frac{x^5}{5} + \frac{4x^4}{4} = \frac{x^5}{5} + x^4 + C$$ 💡 **Tip:** El área siempre es una magnitud positiva. Si la integral resulta negativa, es porque la función queda por debajo del eje $OX$.

Aplicamos la Regla de Barrow para evaluar la integral entre $-4$ y $0$: $$\int_{-4}^{0} (x^4 + 4x^3) \, dx = \left[ \frac{x^5}{5} + x^4 \right]_{-4}^{0}$$ Evaluamos en los límites: $$= \left( \frac{0^5}{5} + 0^4 \right) - \left( \frac{(-4)^5}{5} + (-4)^4 \right)$$ $$= 0 - \left( \frac{-1024}{5} + 256 \right)$$ $$= - \left( \frac{-1024 + 1280}{5} \right) = - \left( \frac{256}{5} \right) = -51,2.$$ Tomando el valor absoluto para obtener el área: $$\text{Área} = |-51,2| = 51,2 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{256}{5} = 51,2 \text{ unidades cuadradas}}$$