Simetría, distancia punto-recta y volumen de un tetraedro

**a) (1 punto) Calcular el punto $P'$ simétrico a $P$ respecto de $\pi$.** Para calcular el punto simétrico $P'$ de un punto $P$ respecto a un plano $\pi$, seguiremos estos pasos: 1. Hallar la recta $s$ perpendicular a $\pi$ que pasa por $P$. 2. Calcular el punto de intersección $M$ entre la recta $s$ y el plano $\pi$ (este es el pie de la perpendicular). 3. El punto $M$ es el punto medio del segmento $PP'$, por lo que usaremos la fórmula del punto medio para despejar $P'$. Del plano $\pi \equiv x + 5y - 6z = 1$, obtenemos su vector normal: $$\vec{n}_{\pi} = (1, 5, -6)$$ La recta $s$ tendrá como vector director $\vec{v}_s = \vec{n}_{\pi} = (1, 5, -6)$ y pasará por $P(1, 0, 1)$. Su ecuación paramétrica es: $$s \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 5\lambda \\ z = 1 - 6\lambda \end{cases}$$

Sustituimos las coordenadas genéricas de la recta $s$ en la ecuación del plano $\pi$ para hallar el valor de $\lambda$ correspondiente al punto de corte $M$: $$(1 + \lambda) + 5(5\lambda) - 6(1 - 6\lambda) = 1$$ Resolvemos la ecuación: $$1 + \lambda + 25\lambda - 6 + 36\lambda = 1$$ $$62\lambda - 5 = 1 \implies 62\lambda = 6 \implies \lambda = \frac{6}{62} = \frac{3}{31}$$ Ahora calculamos las coordenadas de $M$ sustituyendo $\lambda = \frac{3}{31}$ en la recta $s$: $$x_M = 1 + \frac{3}{31} = \frac{34}{31}$$ $$y_M = 5 \left( \frac{3}{31} \right) = \frac{15}{31}$$ $$z_M = 1 - 6 \left( \frac{3}{31} \right) = 1 - \frac{18}{31} = \frac{13}{31}$$ Por tanto, $M \left( \frac{34}{31}, \frac{15}{31}, \frac{13}{31} \right)$. 💡 **Tip:** El punto $M$ es la proyección ortogonal de $P$ sobre el plano.

Como $M$ es el punto medio entre $P(1, 0, 1)$ y $P'(x', y', z')$, se cumple: $$M = \frac{P + P'}{2} \implies P' = 2M - P$$ Calculamos componente a componente: $$x' = 2 \left( \frac{34}{31} \right) - 1 = \frac{68}{31} - \frac{31}{31} = \frac{37}{31}$$ $$y' = 2 \left( \frac{15}{31} \right) - 0 = \frac{30}{31}$$ $$z' = 2 \left( \frac{13}{31} \right) - 1 = \frac{26}{31} - \frac{31}{31} = -\frac{5}{31}$$ ✅ **Resultado (punto simétrico):** $$\boxed{P' \left( \frac{37}{31}, \frac{30}{31}, -\frac{5}{31} \right)}$$

**b) (1 punto) Hallar la distancia de $P$ a $r$.** La recta $r \equiv \begin{cases} x = 0 \\ z = 0 \end{cases}$ coincide con el eje $OY$. Extraemos un punto $A$ de la recta y su vector director $\vec{v}_r$: - Punto $A(0, 0, 0)$ (haciendo $y=0$) - Vector director $\vec{v}_r = (0, 1, 0)$ (vector unitario del eje $Y$) Utilizamos la fórmula de la distancia de un punto $P$ a una recta: $$d(P, r) = \frac{|\vec{AP} \times \vec{v}_r|}{|\vec{v}_r|}$$ Primero, calculamos el vector $\vec{AP} = P - A = (1, 0, 1) - (0, 0, 0) = (1, 0, 1)$. Calculamos el producto vectorial $\vec{AP} \times \vec{v}_r$ mediante un determinante: $$\vec{AP} \times \vec{v}_r = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \vec{i}(0-1) - \vec{j}(0-0) + \vec{k}(1-0) = (-1, 0, 1)$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial es perpendicular a ambos vectores. Puedes comprobarlo verificando que el producto escalar con ellos es cero.

Hallamos los módulos necesarios: $$|\vec{AP} \times \vec{v}_r| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$$ $$|\vec{v}_r| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1$$ Sustituyendo en la fórmula: $$d(P, r) = \frac{\sqrt{2}}{1} = \sqrt{2} \text{ unidades}$$ ✅ **Resultado (distancia):** $$\boxed{d(P, r) = \sqrt{2}}$$

**c) (1 punto) Calcular el volumen del tetraedro formado por el origen de coordenadas $O(0, 0, 0)$ y las intersecciones de $\pi$ con los ejes coordenados $OX, OY$ y $OZ$.** Buscamos los puntos de corte del plano $\pi \equiv x + 5y - 6z = 1$ con los ejes: - **Eje $OX$** ($y=0, z=0$): $$x + 5(0) - 6(0) = 1 \implies x = 1 \implies A(1, 0, 0)$$ - **Eje $OY$** ($x=0, z=0$): $$0 + 5y - 6(0) = 1 \implies 5y = 1 \implies y = \frac{1}{5} \implies B\left(0, \frac{1}{5}, 0\right)$$ - **Eje $OZ$** ($x=0, y=0$): $$0 + 5(0) - 6z = 1 \implies -6z = 1 \implies z = -\frac{1}{6} \implies C\left(0, 0, -\frac{1}{6}\right)$$ El tetraedro tiene vértices $O, A, B$ y $C$.

El volumen de un tetraedro con un vértice en el origen se calcula como un sexto del valor absoluto del producto mixto de los vectores de los otros tres vértices: $$V = \frac{1}{6} |[\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}]|$$ Los vectores son $\vec{OA}=(1, 0, 0)$, $\vec{OB}=(0, 1/5, 0)$ y $\vec{OC}=(0, 0, -1/6)$. Calculamos el determinante: $$[\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}] = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1/5 & 0 \\ 0 & 0 & -1/6 \end{vmatrix} = 1 \cdot \frac{1}{5} \cdot \left(-\frac{1}{6}\right) = -\frac{1}{30}$$ El volumen es: $$V = \frac{1}{6} \left| -\frac{1}{30} \right| = \frac{1}{180} \text{ unidades cubicas}$$ ✅ **Resultado (volumen):** $$\boxed{V = \frac{1}{180} \text{ u}^3}$$