Sistemas de ecuaciones matriciales y parámetros

**a) (1,5 puntos) Calcula $\alpha, \beta, \gamma$ para que $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ sea solución del sistema $AX = B$.** Si el vector $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ es solución, debe satisfacer la ecuación matricial $AX = B$. Sustituimos las matrices y realizamos la multiplicación: $$\begin{pmatrix} \alpha & \beta & \gamma \\ \gamma & 0 & \alpha \\ 1 & \beta & \gamma \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$ Esto nos genera el siguiente sistema de ecuaciones lineales para las incógnitas $\alpha, \beta, \gamma$: 1. $\alpha(1) + \beta(2) + \gamma(3) = 1 \implies \alpha + 2\beta + 3\gamma = 1$ 2. $\gamma(1) + 0(2) + \alpha(3) = 0 \implies 3\alpha + \gamma = 0$ 3. $1(1) + \beta(2) + \gamma(3) = 1 \implies 2\beta + 3\gamma = 0$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices, multiplicamos cada fila de la primera por la columna de la segunda.

Resolvemos el sistema obtenido: De la ecuación (2), despejamos $\gamma$: $$\gamma = -3\alpha$$ De la ecuación (3), despejamos $\beta$ en función de $\gamma$: $$2\beta = -3\gamma \implies \beta = -\frac{3\gamma}{2}$$ Sustituyendo $\gamma = -3\alpha$: $$\beta = -\frac{3(-3\alpha)}{2} = \frac{9\alpha}{2}$$ Sustituimos ambos valores en la ecuación (1): $$\alpha + 2\left(\frac{9\alpha}{2}\right) + 3(-3\alpha) = 1$$ $$\alpha + 9\alpha - 9\alpha = 1 \implies \alpha = 1$$ Calculamos ahora los valores restantes: $$\gamma = -3(1) = -3$$ $$\beta = \frac{9(1)}{2} = \frac{9}{2}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\alpha = 1, \beta = \frac{9}{2}, \gamma = -3}$$

**b) (1 punto) Si $\beta = \gamma = 1$ ¿Qué condición o condiciones debe cumplir $\alpha$ para que el sistema lineal homogéneo $AX = O$ sea compatible determinado?** Sustituimos $\beta = 1$ y $\gamma = 1$ en la matriz $A$: $$A = \begin{pmatrix} \alpha & 1 & 1 \\ 1 & 0 & \alpha \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Un sistema homogéneo $AX=O$ es siempre compatible. Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, para que sea **compatible determinado** (solución única, la trivial), el rango de la matriz de coeficientes $A$ debe ser igual al número de incógnitas ($n=3$). Esto ocurre si y solo si el determinante de la matriz es distinto de cero: $|A| \neq 0$. 💡 **Tip:** En un sistema homogéneo, si $|A| \neq 0$ la única solución es $x=y=z=0$.

Calculamos el determinante de $A$ mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} \alpha & 1 & 1 \\ 1 & 0 & \alpha \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = (\alpha \cdot 0 \cdot 1) + (1 \cdot \alpha \cdot 1) + (1 \cdot 1 \cdot 1) - (1 \cdot 0 \cdot 1) - (1 \cdot 1 \cdot \alpha) - (1 \cdot 1 \cdot \alpha) \text{ (No, usemos Sarrus correctamente)}$$ $$|A| = [0 + \alpha + 1] - [0 + \alpha^2 + 1] = \alpha + 1 - \alpha^2 - 1 = \alpha - \alpha^2$$ Para que sea compatible determinado, imponemos $|A| \neq 0$: $$\alpha - \alpha^2 \neq 0 \implies \alpha(1 - \alpha) \neq 0$$ Esto implica que: $$\alpha \neq 0 \quad \text{y} \quad \alpha \neq 1$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\alpha \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1\}}$$

**c) (0,5 puntos) Si $\alpha = -1, \beta = 1$ y $\gamma = 0$, resuelve el sistema $AX = B$.** Sustituimos los valores en las matrices: $$A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} , B = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$ Escribimos el sistema de ecuaciones: 1. $-x + y = 1$ 2. $-z = 0 \implies z = 0$ 3. $x + y = 1$ De la ecuación (2) obtenemos directamente **$z = 0$**. Sumamos la ecuación (1) y la (3) para eliminar $x$: $$(-x + y) + (x + y) = 1 + 1 \implies 2y = 2 \implies y = 1$$ Sustituimos $y=1$ en la ecuación (3): $$x + 1 = 1 \implies x = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = 0, y = 1, z = 0}$$