Estudio del rango de una matriz con parámetros

Para estudiar el rango de la matriz $A$ de orden $4 \times 4$, calculamos primero su determinante $|A|$. Si el determinante es distinto de cero, el rango será máximo ($4$). Si es cero, el rango será menor que $4$. Calculamos $|A|$ aplicando propiedades de los determinantes para simplificar los cálculos: $$|A| = \begin{vmatrix} 2 & -1 & -3 & 5 \\ 2 & 2 & -1 & a \\ 1 & 1 & 1 & 6 \\ 3 & 1 & -4 & a \end{vmatrix}$$ Intercambiamos la primera y la tercera fila ($F_1 \leftrightarrow F_3$), lo que cambia el signo del determinante: $$|A| = - \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 2 & 2 & -1 & a \\ 2 & -1 & -3 & 5 \\ 3 & 1 & -4 & a \end{vmatrix}$$ Hacemos ceros en la primera columna usando la primera fila: $F_2 \to F_2 - 2F_1$ $F_3 \to F_3 - 2F_1$ $F_4 \to F_4 - 3F_1$ $$|A| = - \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & -3 & a-12 \\ 0 & -3 & -5 & -7 \\ 0 & -2 & -7 & a-18 \end{vmatrix}$$ 💡 **Tip:** Intercambiar filas o columnas cambia el signo del determinante. Hacer combinaciones lineales de filas ($F_i \to F_i + kF_j$) no altera su valor.

Desarrollamos el determinante por los elementos de la primera columna: $$|A| = - 1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & -3 & a-12 \\ -3 & -5 & -7 \\ -2 & -7 & a-18 \end{vmatrix}$$ Calculamos este determinante de orden 3 por la regla de Sarrus: $$|A| = - \left[ (0) + (-3)(-7)(-2) + (a-12)(-3)(-7) - \left( (-2)(-5)(a-12) + (-7)(-7)(0) + (a-18)(-3)(-3) \right) \right]$$ $$|A| = - \left[ -42 + 21(a-12) - ( 10(a-12) + 9(a-18) ) \right]$$ $$|A| = - \left[ -42 + 21a - 252 - ( 10a - 120 + 9a - 162 ) \right]$$ $$|A| = - \left[ 21a - 294 - ( 19a - 282 ) \right]$$ $$|A| = - \left[ 21a - 294 - 19a + 282 \right] = - (2a - 12) = -2a + 12$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$-2a + 12 = 0 \implies 2a = 12 \implies a = 6$$ ✅ **Resultado del determinante:** $$\boxed{|A| = -2a + 12}$$

**Si $a \neq 6$:** En este caso, el determinante de la matriz $A$ es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Como $A$ es una matriz de dimensión $4 \times 4$ y su determinante no es nulo, las cuatro filas (y columnas) son linealmente independientes. Por lo tanto, el rango de la matriz es máximo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a \neq 6, \text{ rg}(A) = 4}$$

**Si $a = 6$:** En este caso, sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rg}(A) \lt 4$. Debemos comprobar si existe algún menor de orden 3 cuyo determinante sea distinto de cero. Sustituimos $a=6$ en la matriz (o trabajamos con la matriz original) y tomamos el menor formado por las tres primeras filas y las tres primeras columnas: $$M = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -3 \\ 2 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Calculamos su determinante: $$|M| = \begin{vmatrix} 2 & -1 & -3 \\ 2 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (4 + 1 - 6) - (-6 - 2 - 2) = -1 - (-10) = 9$$ Como $|M| = 9 \neq 0$, existe al menos un menor de orden 3 no nulo. Por tanto, el rango de la matriz es 3. 💡 **Tip:** El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo que se pueda extraer de ella. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a = 6, \text{ rg}(A) = 3}$$