Ecuación matricial con parámetros e inversa

**a) (1 punto) Calcular el valor o valores de $a$ para los que esta ecuación tiene solución.** Sean las matrices $A = \begin{pmatrix} a & 2 \\ 3 & 7 \end{pmatrix}$ y $C = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$. La ecuación se expresa como $A \cdot B = C$. Para que la matriz $B$ se pueda calcular de forma única, la matriz $A$ debe ser invertible, es decir, su determinante debe ser distinto de cero. Calculamos $|A|$: $$|A| = \begin{vmatrix} a & 2 \\ 3 & 7 \end{vmatrix} = 7a - 6.$$ Igualamos a cero para encontrar el valor crítico: $$7a - 6 = 0 \implies a = \frac{6}{7}.$$ 💡 **Tip:** Si el determinante de la matriz de coeficientes $A$ es distinto de cero, el sistema $A \cdot B = C$ siempre tendrá una solución única dada por $B = A^{-1} \cdot C$.

Si $a = \frac{6}{7}$, la matriz $A$ es $\begin{pmatrix} 6/7 & 2 \\ 3 & 7 \end{pmatrix}$. Observamos que la segunda fila es proporcional a la primera ($F_2 = 3.5 \cdot F_1$), ya que $3 = \frac{6}{7} \cdot 3.5$ y $7 = 2 \cdot 3.5$. Sin embargo, al observar la matriz $C = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, vemos que sus filas son iguales, lo que no mantiene la misma proporción de $3.5$ que las filas de $A$. Al plantear el sistema de ecuaciones para las columnas de $B$, obtendríamos un sistema incompatible. Por tanto, para que la ecuación tenga solución, la matriz $A$ debe ser invertible. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a \neq \frac{6}{7}}$$

**b) (1 punto) Calcular $B$ en el caso $a = 1$.** Si $a = 1$, la matriz $A$ es: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 7 \end{pmatrix}.$$ Calculamos su determinante: $$|A| = 7(1) - 2(3) = 7 - 6 = 1.$$ Como $|A| \neq 0$, la matriz $A$ es invertible y podemos despejar $B$ multiplicando por la izquierda por $A^{-1}$: $$A \cdot B = C \implies A^{-1} \cdot A \cdot B = A^{-1} \cdot C \implies B = A^{-1} \cdot C.$$ 💡 **Tip:** En ecuaciones matriciales, el orden del producto es fundamental. Si $A$ está a la izquierda de $B$, su inversa debe multiplicar por la izquierda a $C$.

Calculamos $A^{-1}$ mediante la fórmula de la matriz adjunta: $$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A)^t.$$ 1. Hallamos la matriz de adjuntos: $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 7 & -3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}.$$ 2. Hallamos su transpuesta: $$\text{Adj}(A)^t = \begin{pmatrix} 7 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}.$$ Como $|A| = 1$, la inversa es directamente: $$A^{-1} = \begin{pmatrix} 7 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}.$$ 💡 **Tip:** Para una matriz $2 \times 2$, la inversa se obtiene rápidamente intercambiando los elementos de la diagonal principal y cambiando el signo de los de la secundaria, dividiendo luego por el determinante.

Finalmente, calculamos $B$ realizando el producto $A^{-1} \cdot C$: $$B = \begin{pmatrix} 7 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Efectuamos el producto fila por columna: $$B = \begin{pmatrix} (7 \cdot 1) + (-2 \cdot 1) & (7 \cdot 1) + (-2 \cdot 1) \\ (-3 \cdot 1) + (1 \cdot 1) & (-3 \cdot 1) + (1 \cdot 1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 - 2 & 7 - 2 \\ -3 + 1 & -3 + 1 \end{pmatrix}$$ $$B = \begin{pmatrix} 5 & 5 \\ -2 & -2 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{B = \begin{pmatrix} 5 & 5 \\ -2 & -2 \end{pmatrix}}$$