Continuidad, derivabilidad e integración de una función a trozos

**a) (1 punto) Hallar, si existe, el valor de $a$ para que $f(x)$ sea continua.** Para que la función sea continua en $x=0$, deben existir los límites laterales, el valor de la función en el punto, y todos deben coincidir: $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$$ 1. Calculamos el límite por la izquierda ($x \lt 0$): $$\lim_{x \to 0^-} \left( \frac{5 \operatorname{sen} x}{2x} + \frac{1}{2} \right) = \frac{5}{2} \lim_{x \to 0^-} \frac{\operatorname{sen} x}{x} + \frac{1}{2}$$ Utilizando el límite notable $\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen} x}{x} = 1$: $$\frac{5}{2}(1) + \frac{1}{2} = \frac{5}{2} + \frac{1}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ 2. Calculamos el límite por la derecha ($x \gt 0$): $$\lim_{x \to 0^+} (xe^x + 3) = 0 \cdot e^0 + 3 = 0 + 3 = 3$$ 3. Valor de la función en el punto: $$f(0) = a$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el límite fundamental trigonométrico es $\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen} x}{x} = 1$, muy útil para evitar L'Hôpital en expresiones sencillas. Para que sea continua, igualamos los resultados: $$3 = 3 = a \implies a = 3$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 3}$$

**b) (1 punto) Decidir si la función es derivable en $x = 0$ para algún valor de $a$.** Para que una función sea derivable en un punto, primero debe ser **continua** en dicho punto. Por el apartado anterior, sabemos que esto solo ocurre si **$a = 3$**. Si $a \neq 3$, la función no es continua y, por tanto, no puede ser derivable. Si $a = 3$, estudiamos las derivadas laterales calculando el límite de la función derivada $f'(x)$ cuando $x \to 0$. Calculamos la derivada de las ramas para $x \neq 0$: 1. Rama izquierda ($x \lt 0$): $$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{5 \operatorname{sen} x}{2x} + \frac{1}{2} \right) = \frac{5}{2} \cdot \frac{(\cos x) \cdot x - (\operatorname{sen} x) \cdot 1}{x^2} = \frac{5(x \cos x - \operatorname{sen} x)}{2x^2}$$ 2. Rama derecha ($x \gt 0$): $$f'(x) = \frac{d}{dx} (xe^x + 3) = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = e^x(1+x)$$ 💡 **Tip:** La derivabilidad implica continuidad, pero la continuidad no asegura la derivabilidad (ejemplo: la función valor absoluto).

Calculamos ahora los límites de $f'(x)$: **Derivada lateral derecha ($f'(0^+)$):** $$\lim_{x \to 0^+} e^x(1+x) = e^0(1+0) = 1 \cdot 1 = 1$$ **Derivada lateral izquierda ($f'(0^-)$):** $$\lim_{x \to 0^-} \frac{5(x \cos x - \operatorname{sen} x)}{2x^2} = \left[ \frac{0}{0} \right]$$ Aplicamos la regla de L'Hôpital: $$\lim_{x \to 0^-} \frac{5(\cos x - x \operatorname{sen} x - \cos x)}{4x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-5x \operatorname{sen} x}{4x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-5 \operatorname{sen} x}{4} = 0$$ Como las derivadas laterales no coinciden ($0 \neq 1$): $$f'(0^-) \neq f'(0^+)$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La función no es derivable en } x=0 \text{ para ningún valor de } a}$$

**c) (1 punto) Calcular la integral: $\int_{1}^{\ln 5} f(x) dx$** El intervalo de integración es $[1, \ln 5]$. Dado que $\ln 5 \approx 1.61$, todo el intervalo se encuentra en el dominio $x \gt 0$. Por tanto, usaremos la rama $f(x) = xe^x + 3$. La integral a resolver es: $$I = \int_{1}^{\ln 5} (xe^x + 3) dx = \int_{1}^{\ln 5} xe^x dx + \int_{1}^{\ln 5} 3 dx$$ 💡 **Tip:** Antes de integrar una función a trozos, comprueba en qué rama o ramas cae el intervalo de integración. Si cruzara el $0$, deberías dividir la integral en dos partes.

Resolvemos primero la integral indefinida $\int xe^x dx$ por partes: Tomamos $u = x \implies du = dx$ y $dv = e^x dx \implies v = e^x$. $$\int xe^x dx = xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x = (x-1)e^x$$ Ahora calculamos la integral completa aplicando la regla de Barrow: $$\int_{1}^{\ln 5} (xe^x + 3) dx = \left[ (x-1)e^x + 3x \right]_{1}^{\ln 5}$$ Evaluamos en el límite superior ($x = \ln 5$): $$(\ln 5 - 1)e^{\ln 5} + 3\ln 5 = (\ln 5 - 1) \cdot 5 + 3\ln 5 = 5\ln 5 - 5 + 3\ln 5 = 8\ln 5 - 5$$ Evaluamos en el límite inferior ($x = 1$): $$(1 - 1)e^1 + 3(1) = 0 + 3 = 3$$ Restamos ambos valores: $$I = (8\ln 5 - 5) - 3 = 8\ln 5 - 8 = 8(\ln 5 - 1)$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\int_{1}^{\ln 5} f(x) dx = 8\ln 5 - 8}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x)=\\{x<0: 5\\sin(x)/(2x)+0.5, x=0: 3, x>0: xe^x+3\\}", "color": "#2563eb" }, { "id": "area", "latex": "3 \\le y \\le xe^x+3 \\{1 \\le x \\le \\ln 5\\}", "color": "#93c5fd" } ], "bounds": { "left": -2, "right": 3, "bottom": -1, "top": 12 } } }