Posición relativa, distancia y simétrico respecto a un plano

**a) (1 punto) Estudiar la posición relativa de $r$ y $\pi$.** Para estudiar la posición relativa, primero extraemos un punto y el vector director de la recta $r$, así como el vector normal del plano $\pi$. De la ecuación de la recta $r$ en paramétricas: - Punto de la recta: $A_r = (1, 2, 1)$ - Vector director: $\vec{v}_r = (-2, -2, 1)$ De la ecuación general del plano $\pi \equiv 2x - y + 2z + 3 = 0$: - Vector normal: $\vec{n}_\pi = (2, -1, 2)$ 💡 **Tip:** En las ecuaciones paramétricas de la recta, los coeficientes del parámetro $t$ forman el vector director. En la ecuación general del plano, los coeficientes de $x, y, z$ forman su vector normal.

Calculamos el producto escalar entre el vector director de la recta y el vector normal del plano para ver si son perpendiculares (lo que implicaría que la recta y el plano son paralelos o la recta está contenida): $$\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = (-2) \cdot 2 + (-2) \cdot (-1) + 1 \cdot 2$$ $$\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = -4 + 2 + 2 = 0$$ Como el producto escalar es **cero**, los vectores son perpendiculares, lo cual significa que la recta $r$ es paralela al plano o está contenida en él. 💡 **Tip:** Si $\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = 0$, la recta no "atraviesa" el plano oblicuamente.

Para distinguir si la recta es paralela o está contenida, comprobamos si el punto $A_r(1, 2, 1)$ pertenece al plano $\pi$ sustituyéndolo en su ecuación: $$2(1) - (2) + 2(1) + 3 = 2 - 2 + 2 + 3 = 5$$ Como $5 \neq 0$, el punto $A_r$ no pertenece al plano $\pi$. Por lo tanto, la recta y el plano no tienen puntos en común. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La recta } r \text{ es paralela al plano } \pi}$$

**b) (1 punto) Calcular la distancia entre $r$ y $\pi$.** Como hemos determinado que $r$ es paralela a $\pi$, la distancia entre ellos es constante e igual a la distancia de cualquier punto de la recta al plano. Usaremos $A_r(1, 2, 1)$. La fórmula de la distancia de un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $Ax + By + Cz + D = 0$ es: $$d(P, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Aplicamos los datos: $$d(r, \pi) = d(A_r, \pi) = \frac{|2(1) - 1(2) + 2(1) + 3|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}}$$ $$d(r, \pi) = \frac{|2 - 2 + 2 + 3|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{5}{\sqrt{9}} = \frac{5}{3}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(r, \pi) = \frac{5}{3} \text{ unidades}}$$

**c) (1 punto) Obtener el punto $P'$ simétrico de $P(3, 2, 1) respecto del plano \pi.** Para hallar el simétrico $P'$, primero trazamos una recta perpendicular al plano $\pi$ que pase por $P(3, 2, 1)$. El vector director de esta recta será el vector normal del plano, $\vec{n}_\pi = (2, -1, 2)$. Ecuación de la recta perpendicular $s$: $$s \equiv \begin{cases} x = 3 + 2\lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 1 + 2\lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** El punto simétrico se encuentra a la misma distancia del plano que el punto original, pero en el lado opuesto, siguiendo la dirección normal.

Calculamos el punto de intersección $M$ de la recta $s$ con el plano $\pi$ (este punto se llama proyección ortogonal de $P$ sobre $\pi$): Sustituimos las coordenadas de $s$ en la ecuación del plano: $$2(3 + 2\lambda) - (2 - \lambda) + 2(1 + 2\lambda) + 3 = 0$$ $$6 + 4\lambda - 2 + \lambda + 2 + 4\lambda + 3 = 0$$ $$9\lambda + 9 = 0 \implies 9\lambda = -9 \implies \lambda = -1$$ Sustituimos $\lambda = -1$ en la recta $s$ para hallar $M$: - $x = 3 + 2(-1) = 1$ - $y = 2 - (-1) = 3$ - $z = 1 + 2(-1) = -1$ El punto de intersección es **$M(1, 3, -1)$**.

El punto $M$ es el punto medio entre $P(3, 2, 1)$ y su simétrico $P'(x', y', z')$. Por la fórmula del punto medio: $$M = \frac{P + P'}{2} \implies P' = 2M - P$$ Calculamos las coordenadas de $P'$: - $x' = 2(1) - 3 = -1$ - $y' = 2(3) - 2 = 4$ - $z' = 2(-1) - 1 = -3$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P'(-1, 4, -3)}$$