Intersección de planos y ángulo entre recta y plano

**a) (1 punto) Obtener las ecuaciones paramétricas de la recta determinada por $\pi_1$ y $\pi_2$.** La recta $r$ viene definida por la intersección de los planos $\pi_1$ y $\pi_2$. Su vector director $\vec{v}_r$ se puede obtener mediante el producto vectorial de los vectores normales a los planos, $\vec{n}_1$ y $\vec{n}_2$. Identificamos los vectores normales: $$\vec{n}_1 = (2, 0, 1)$$ $$\vec{n}_2 = (1, 0, 1)$$ Calculamos el producto vectorial: $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos el determinante: $$\vec{v}_r = \vec{i} \cdot (0 \cdot 1 - 1 \cdot 0) - \vec{j} \cdot (2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) + \vec{k} \cdot (2 \cdot 0 - 0 \cdot 1)$$ $$\vec{v}_r = 0\vec{i} - 1\vec{j} + 0\vec{k} = (0, -1, 0)$$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta definida por dos planos es perpendicular a ambos vectores normales, por eso usamos el producto vectorial. $$\boxed{\vec{v}_r = (0, 1, 0)}$$

Para definir las ecuaciones paramétricas, necesitamos un punto $P$ que pertenezca a la recta (y por tanto, a ambos planos simultáneamente). Resolvemos el sistema formado por $\pi_1$ y $\pi_2$: $$\begin{cases} 2x + z = 1 \\ x + z = -2 \end{cases}$$ Restamos la segunda ecuación a la primera: $$(2x - x) + (z - z) = 1 - (-2) \implies x = 3$$ Sustituimos $x = 3$ en la segunda ecuación: $$3 + z = -2 \implies z = -5$$ Como la variable $y$ no aparece en las ecuaciones de los planos $\pi_1$ y $\pi_2$, puede tomar cualquier valor. Tomamos, por sencillez, $y = 0$. Así, el punto es: $$\boxed{P(3, 0, -5)}$$

Con el punto $P(3, 0, -5)$ y el vector director $\vec{v}_r = (0, 1, 0)$, escribimos las ecuaciones paramétricas de la recta $r$: $$\begin{cases} x = 3 + 0\lambda \\ y = 0 + 1\lambda \\ z = -5 + 0\lambda \end{cases} \implies \begin{cases} x = 3 \\ y = \lambda \\ z = -5 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que las ecuaciones paramétricas tienen la forma $x = x_0 + v_1\lambda, y = y_0 + v_2\lambda, z = z_0 + v_3\lambda$, donde $(x_0, y_0, z_0)$ es el punto y $(v_1, v_2, v_3)$ es el vector director. ✅ **Resultado (Apartado a):** $$\boxed{r \equiv \begin{cases} x = 3 \\ y = \lambda \\ z = -5 \end{cases} \quad \lambda \in \mathbb{R}}$$

**b) (1 punto) Calcular el seno del ángulo que la recta del apartado anterior forma con el plano $\pi_3$.** Sea $\alpha$ el ángulo formado por la recta $r$ y el plano $\pi_3$. La fórmula para el seno de dicho ángulo utiliza el vector director de la recta $\vec{v}_r$ y el vector normal al plano $\vec{n}_3$: $$\sin(\alpha) = \frac{|\vec{v}_r \cdot \vec{n}_3|}{|\vec{v}_r| \cdot |\vec{n}_3|}$$ Los elementos necesarios son: - Vector director de $r$: $\vec{v}_r = (0, 1, 0)$ - Plano $\pi_3 \equiv x + 3y + 2z - 3 = 0 \implies$ Vector normal $\vec{n}_3 = (1, 3, 2)$

Calculamos el producto escalar y los módulos de ambos vectores: 1. **Producto escalar:** $$\vec{v}_r \cdot \vec{n}_3 = (0, 1, 0) \cdot (1, 3, 2) = 0\cdot 1 + 1\cdot 3 + 0\cdot 2 = 3$$ 2. **Módulo de $\vec{v}_r$:** $$|\vec{v}_r| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1$$ 3. **Módulo de $\vec{n}_3$:** $$|\vec{n}_3| = \sqrt{1^2 + 3^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 9 + 4} = \sqrt{14}$$ 💡 **Tip:** El ángulo entre recta y plano se calcula con el seno porque el ángulo entre el vector director de la recta y el normal del plano es el complementario del que buscamos ($90^\circ - \alpha$).

Sustituimos los valores en la fórmula del seno: $$\sin(\alpha) = \frac{|3|}{1 \cdot \sqrt{14}} = \frac{3}{\sqrt{14}}$$ Racionalizando el resultado: $$\sin(\alpha) = \frac{3\sqrt{14}}{14}$$ ✅ **Resultado (Apartado b):** $$\boxed{\sin(\alpha) = \frac{3\sqrt{14}}{14}}$$