Área de un triángulo y volumen de un tetraedro

**a) (1 punto) Calcular el área del triángulo de vértices $A, B$ y $C$.** Para calcular el área del triángulo formado por los puntos $A, B$ y $C$, primero definimos dos vectores que partan del mismo vértice, por ejemplo, los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$. Calculamos las componentes restando las coordenadas de los puntos: $$\vec{AB} = B - A = (3 - 2, -4 - 0, -1 - (-2)) = (1, -4, 1)$$ $$\vec{AC} = C - A = (5 - 2, 4 - 0, -3 - (-2)) = (3, 4, -1)$$ 💡 **Tip:** El área de un triángulo de vértices $A, B$ y $C$ es igual a la mitad del módulo del producto vectorial de dos de sus vectores de posición relativos: $Area = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$.

Calculamos el producto vectorial $\vec{w} = \vec{AB} \times \vec{AC}$ utilizando el determinante de los vectores unitarios $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$: $$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -4 & 1 \\ 3 & 4 & -1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\vec{AB} \times \vec{AC} = [(-4) \cdot (-1)]\vec{i} + [1 \cdot 3]\vec{j} + [1 \cdot 4]\vec{k} - [(-4) \cdot 3]\vec{k} - [1 \cdot 4]\vec{i} - [1 \cdot (-1)]\vec{j}$$ $$\vec{AB} \times \vec{AC} = 4\vec{i} + 3\vec{j} + 4\vec{k} + 12\vec{k} - 4\vec{i} + \vec{j}$$ $$\vec{AB} \times \vec{AC} = (4 - 4)\vec{i} + (3 + 1)\vec{j} + (4 + 12)\vec{k} = 0\vec{i} + 4\vec{j} + 16\vec{k}$$ Por tanto, el vector resultante es: $$\vec{AB} \times \vec{AC} = (0, 4, 16)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el producto vectorial genera un vector perpendicular al plano que contiene a los otros dos.

Una vez tenemos el producto vectorial, calculamos su módulo: $$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{0^2 + 4^2 + 16^2} = \sqrt{0 + 16 + 256} = \sqrt{272}$$ Simplificamos la raíz si es posible: $$\sqrt{272} = \sqrt{16 \cdot 17} = 4\sqrt{17}$$ El área del triángulo es la mitad de este módulo: $$Area = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{17} = 2\sqrt{17} \approx 8,246 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado (área):** $$\boxed{Area = 2\sqrt{17} \text{ u}^2}$$

**b) (1 punto) Calcular el volumen del tetraedro $ABCD$.** El volumen de un tetraedro definido por los puntos $A, B, C$ y $D$ se puede calcular mediante el valor absoluto del producto mixto de tres vectores que compartan un origen común. Usaremos $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ (ya calculados) y $\vec{AD}$. Calculamos $\vec{AD}$: $$\vec{AD} = D - A = (0 - 2, 1 - 0, 4 - (-2)) = (-2, 1, 6)$$ Los tres vectores a utilizar son: $$\vec{AB} = (1, -4, 1)$$, $$\vec{AC} = (3, 4, -1)$$, $$\vec{AD} = (-2, 1, 6)$$ 💡 **Tip:** El volumen del tetraedro es $V = \frac{1}{6} |[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}]|$, donde $[...]$ representa el producto mixto.

El producto mixto $[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}]$ es el determinante formado por las componentes de los tres vectores: $$[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}] = \begin{vmatrix} 1 & -4 & 1 \\ 3 & 4 & -1 \\ -2 & 1 & 6 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$= [(1 \cdot 4 \cdot 6) + (-4 \cdot -1 \cdot -2) + (1 \cdot 3 \cdot 1)] - [(-2 \cdot 4 \cdot 1) + (1 \cdot -1 \cdot 1) + (6 \cdot 3 \cdot -4)]$$ $$= [24 - 8 + 3] - [-8 - 1 - 72]$$ $$= 19 - (-81) = 19 + 81 = 100$$ 💡 **Tip:** El producto mixto también se puede calcular como el producto escalar del primer vector por el producto vectorial de los otros dos: $\vec{AD} \cdot (\vec{AB} \times \vec{AC})$.

Finalmente, aplicamos la fórmula del volumen del tetraedro: $$Volumen = \frac{1}{6} \cdot |100| = \frac{100}{6} = \frac{50}{3} \approx 16,67 \text{ u}^3$$ ✅ **Resultado (volumen):** $$\boxed{Volumen = \frac{50}{3} \text{ u}^3}$$