Matrices con parámetros: Invertibilidad e Inversa

**a) (1 punto) Determinar el valor o valores de $a$ para los cuales no existe la matriz inversa $A^{-1}$.** Una matriz cuadrada $A$ no tiene inversa si y solo si su determinante es igual a cero ($|A| = 0$). Calculamos el determinante de $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & a & a \\ 1 & a & 1 \\ a - 1 & a & 2 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [1\cdot a \cdot 2 + a \cdot 1 \cdot (a-1) + 1 \cdot a \cdot a] - [(a-1) \cdot a \cdot a + 1 \cdot a \cdot 2 + 1 \cdot 1 \cdot a]$$ $$|A| = [2a + a^2 - a + a^2] - [a^3 - a^2 + 2a + a]$$ $$|A| = [2a^2 + a] - [a^3 - a^2 + 3a]$$ $$|A| = -a^3 + 3a^2 - 2a$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que exista $A^{-1}$, el determinante debe ser distinto de cero. Los valores que buscamos son las raíces de la ecuación $|A|=0$.

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores de $a$ que hacen que la matriz no sea invertible: $$-a^3 + 3a^2 - 2a = 0$$ Factorizamos extrayendo factor común $-a$: $$-a(a^2 - 3a + 2) = 0$$ Esto nos da una primera solución: **$a = 0$**. Para el factor de segundo grado, resolvemos $a^2 - 3a + 2 = 0$: $$a = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(2)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{9-8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$$ Obtenemos $a = 2$ y $a = 1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 0, a = 1, a = 2}$$

**b) (1 punto) Para $a = -2$, hallar la matriz inversa $A^{-1}$.** Primero, sustituimos $a = -2$ en la matriz $A$ y calculamos su determinante. $$A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -2 \\ 1 & -2 & 1 \\ -3 & -2 & 2 \end{pmatrix}$$ Usando la expresión del determinante hallada en el apartado anterior $|A| = -a^3 + 3a^2 - 2a$: $$|A| = -(-2)^3 + 3(-2)^2 - 2(-2) = 8 + 12 + 4 = 24$$ Como $|A| \neq 0$, la matriz es invertible. La fórmula es $A^{-1} = \frac{1}{|A|} (Adj(A))^t$. 💡 **Tip:** El método de la matriz adjunta es muy sistemático. Primero calcula los cofactores, luego traspón la matriz resultante.

Calculamos los adjuntos de los elementos de $A$: $A_{11} = +\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ -2 & 2 \end{vmatrix} = -2; \quad A_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -3 & 2 \end{vmatrix} = -5; \quad A_{13} = +\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -3 & -2 \end{vmatrix} = -8$ $A_{21} = -\begin{vmatrix} -2 & -2 \\ -2 & 2 \end{vmatrix} = 8; \quad A_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -3 & 2 \end{vmatrix} = -4; \quad A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -3 & -2 \end{vmatrix} = 8$ $A_{31} = +\begin{vmatrix} -2 & -2 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = -6; \quad A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -3; \quad A_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = 0$ La matriz de adjuntos es: $$Adj(A) = \begin{pmatrix} -2 & -5 & -8 \\ 8 & -4 & 8 \\ -6 & -3 & 0 \end{pmatrix}$$ Transponemos y dividimos por el determinante: $$A^{-1} = \frac{1}{24} \begin{pmatrix} -2 & 8 & -6 \\ -5 & -4 & -3 \\ -8 & 8 & 0 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} -1/12 & 1/3 & -1/4 \\ -5/24 & -1/6 & -1/8 \\ -1/3 & 1/3 & 0 \end{pmatrix}}$$

**c) (1 punto) Para $a = 1$, calcular todas las soluciones del sistema lineal $AX = O$.** Sustituimos $a = 1$ en la matriz $A$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$ El sistema $AX = O$ es un sistema homogéneo: $$\begin{cases} x + y + z = 0 \\ x + y + z = 0 \\ y + 2z = 0 \end{cases}$$ Observamos que las dos primeras ecuaciones son idénticas. El rango de la matriz $A$ será 2, ya que el determinante es 0 para $a=1$ (visto en el apartado a) y hay un menor de orden 2 no nulo $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 1 \neq 0$. Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, como $rg(A) = 2 < n = 3$ (incógnitas), el sistema es **Compatible Indeterminado** (infinitas soluciones).

Utilizamos las dos ecuaciones linealmente independientes: 1) $x + y + z = 0$ 2) $y + 2z = 0$ Tomamos $z$ como parámetro: $z = \lambda$ con $\lambda \in \mathbb{R}$. De la ecuación (2): $$y = -2z = -2\lambda$$ Sustituimos en la ecuación (1): $$x + (-2\lambda) + \lambda = 0 \implies x - \lambda = 0 \implies x = \lambda$$ Las soluciones se expresan como el conjunto de puntos $(\lambda, -2\lambda, \lambda)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{cases} x = \lambda \\ y = -2\lambda \\ z = \lambda \end{cases} \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$