Estudio de una función racional: asíntotas, extremos e integral definida

**a) (1 punto) Determinar el dominio de $f$ y sus asíntotas.** La función $f(x)$ es una suma de dos funciones racionales. El dominio estará formado por todos los números reales excepto aquellos que anulan cualquiera de los denominadores. Buscamos los puntos de exclusión: 1. $x + 1 = 0 \implies x = -1$ 2. $x + 4 = 0 \implies x = -4$ Por tanto, el dominio es el conjunto de todos los números reales excepto $-4$ y $-1$. 💡 **Tip:** El dominio de una función racional son todos los valores de $x$ que no hacen cero el denominador. ✅ **Resultado (Dominio):** $$\boxed{\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{-4, -1\}}$$

Las asíntotas verticales suelen encontrarse en los puntos donde la función no está definida. Calculamos los límites laterales en $x = -4$ y $x = -1$. Para **$x = -4$**: $$\lim_{x \to -4} \left( \frac{1}{x+1} + \frac{x}{x+4} \right) = \frac{1}{-3} + \frac{-4}{0} = \pm \infty$$ Para **$x = -1$**: $$\lim_{x \to -1} \left( \frac{1}{x+1} + \frac{x}{x+4} \right) = \frac{1}{0} + \frac{-1}{3} = \pm \infty$$ Al ser los límites infinitos, existen asíntotas verticales en ambos puntos. ✅ **Resultado (AV):** $$\boxed{x = -4, \quad x = -1}$$

Para hallar las asíntotas horizontales, calculamos el límite de la función cuando $x \to \pm \infty$: $$\lim_{x \to \infty} \left( \frac{1}{x+1} + \frac{x}{x+4} \right) = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x+1} + \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x+4} = 0 + 1 = 1$$ Como el límite es un valor finito $L=1$, existe una asíntota horizontal en $y = 1$. 💡 **Tip:** Si una función tiene asíntotas horizontales en $\pm \infty$, no puede tener asíntotas oblicuas en esos mismos sentidos. ✅ **Resultado (AH):** $$\boxed{y = 1}$$

**b) (1 punto) Calcular $f'(x)$ y determinar los extremos relativos de $f(x)$.** Calculamos la derivada término a término: 1. Derivada de $\frac{1}{x+1}$: Usamos la regla de la cadena o la regla del cociente: $\left(\frac{1}{u}\right)' = -\frac{u'}{u^2}$. $$D\left[\frac{1}{x+1}\right] = -\frac{1}{(x+1)^2}$$ 2. Derivada de $\frac{x}{x+4}$: Usamos la regla del cociente $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. $$D\left[\frac{x}{x+4}\right] = \frac{1 \cdot (x+4) - x \cdot 1}{(x+4)^2} = \frac{x + 4 - x}{(x+4)^2} = \frac{4}{(x+4)^2}$$ Sumamos ambos resultados: $$f'(x) = -\frac{1}{(x+1)^2} + \frac{4}{(x+4)^2}$$ ✅ **Resultado (Derivada):** $$\boxed{f'(x) = \frac{-(x+4)^2 + 4(x+1)^2}{(x+1)^2(x+4)^2}}$$

Para encontrar los extremos relativos, igualamos la derivada a cero: $$-\frac{1}{(x+1)^2} + \frac{4}{(x+4)^2} = 0 \implies \frac{4}{(x+4)^2} = \frac{1}{(x+1)^2}$$ Multiplicamos en cruz: $$4(x+1)^2 = (x+4)^2$$ Extraemos la raíz cuadrada en ambos lados (considerando ambos signos): $$2(x+1) = \pm(x+4)$$ **Caso 1 (+):** $2x + 2 = x + 4 \implies x = 2$ **Caso 2 (-):** $2x + 2 = -(x + 4) \implies 2x + 2 = -x - 4 \implies 3x = -6 \implies x = -2$ Los puntos críticos son $x = -2$ y $x = 2$.

Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por el dominio y los puntos críticos: $(-\infty, -4)$, $(-4, -2)$, $(-2, -1)$, $(-1, 2)$ y $(2, +\infty)$. El denominador de $f'(x)$ es $(x+1)^2(x+4)^2$, que siempre es positivo. El signo depende del numerador: $P(x) = 4(x+1)^2 - (x+4)^2 = (2x+2-x-4)(2x+2+x+4) = (x-2)(3x+6)$. $$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty, -4) & -4 & (-4, -2) & -2 & (-2, -1) & -1 & (-1, 2) & 2 & (2, +\infty) \\\hline f'(x) & + & \nexists & + & 0 & - & \nexists & - & 0 & + \\\hline Monotonía & \nearrow & \nexists & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \nexists & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}$$ Calculamos las ordenadas: - $f(-2) = \frac{1}{-2+1} + \frac{-2}{-2+4} = -1 - 1 = -2$ - $f(2) = \frac{1}{2+1} + \frac{2}{2+4} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ ✅ **Resultado (Extremos):** $$\boxed{\text{Máximo relativo en } (-2, -2) \text{ y Mínimo relativo en } (2, 2/3)}$$

**c) (1 punto) Calcular $\int_{0}^{1} f(x) dx$.** Planteamos la integral: $$I = \int_{0}^{1} \left( \frac{1}{x+1} + \frac{x}{x+4} \right) dx$$ Para integrar $\frac{x}{x+4}$, realizamos un ajuste en el numerador: $$\frac{x}{x+4} = \frac{x+4-4}{x+4} = \frac{x+4}{x+4} - \frac{4}{x+4} = 1 - \frac{4}{x+4}$$ Así, la primitiva es: $$F(x) = \int \left( \frac{1}{x+1} + 1 - \frac{4}{x+4} \right) dx = \ln|x+1| + x - 4\ln|x+4|$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\int \frac{1}{x+a} dx = \ln|x+a| + C$.

Aplicamos la Regla de Barrow evaluando en los límites $0$ y $1$: $$I = \left[ \ln|x+1| + x - 4\ln|x+4| \right]_{0}^{1}$$ Evaluamos en $1$: $$F(1) = \ln(2) + 1 - 4\ln(5)$$ Evaluamos en $0$: $$F(0) = \ln(1) + 0 - 4\ln(4) = 0 + 0 - 4\ln(2^2) = -8\ln(2)$$ Restamos los valores: $$I = (\ln 2 + 1 - 4\ln 5) - (-8\ln 2) = 9\ln 2 - 4\ln 5 + 1$$ ✅ **Resultado (Integral):** $$\boxed{\int_{0}^{1} f(x) dx = 9\ln 2 - 4\ln 5 + 1 \approx 0.803}$$