Área de recinto acotado: función trigonométrica

**a) Dibuje el recinto acotado comprendido entre la gráfica de $f(x)$, el eje $OX$ y las rectas $x = 0$ y $x = \frac{\pi}{2}$. (1,25 puntos)** Para dibujar el recinto y calcular el área, primero debemos encontrar si la función corta al eje $OX$ (donde $f(x)=0$) dentro del intervalo dado $[0, \frac{\pi}{2}]$. Resolvemos la ecuación: $$f(x) = 0 \implies \frac{1}{2} - \text{sen}(x) = 0 \implies \text{sen}(x) = \frac{1}{2}$$ En el primer cuadrante (intervalo $[0, \frac{\pi}{2}]$), el seno vale $1/2$ en: $$x = \text{arcsen}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$$ Como $\frac{\pi}{6} \in [0, \frac{\pi}{2}]$, la gráfica corta al eje $OX$ en ese punto, dividiendo nuestro recinto en dos regiones. 💡 **Tip:** Recuerda los valores notables del seno: $\text{sen}(0)=0$, $\text{sen}(\pi/6)=1/2$, $\text{sen}(\pi/2)=1$.

Analizamos el signo de la función en los subintervalos determinados por el punto de corte: 1. En $[0, \frac{\pi}{6})$: El valor de $\text{sen}(x)$ es menor que $1/2$, por lo que $f(x) = \frac{1}{2} - \text{sen}(x) \gt 0$. La función está por encima del eje $OX$. 2. En $(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}]$: El valor de $\text{sen}(x)$ es mayor que $1/2$, por lo que $f(x) = \frac{1}{2} - \text{sen}(x) \lt 0$. La función está por debajo del eje $OX$. Calculamos los valores en los extremos para ayudar al dibujo: - $f(0) = \frac{1}{2} - \text{sen}(0) = \frac{1}{2}$ - $f(\frac{\pi}{6}) = 0$ - $f(\frac{\pi}{2}) = \frac{1}{2} - \text{sen}(\frac{\pi}{2}) = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$ El recinto está formado por dos "triángulos" curvilíneos entre $x=0$ y $x=\pi/2$ separados en $x=\pi/6$.

**b) Calcule el área del recinto anterior. (1,25 puntos)** El área total $A$ es la suma de las áreas de las dos regiones. Como la segunda región está por debajo del eje $OX$, debemos tomar su valor absoluto o integrar la función opuesta: $$A = \int_{0}^{\pi/6} f(x) \, dx + \int_{\pi/6}^{\pi/2} -f(x) \, dx$$ $$A = \int_{0}^{\pi/6} \left( \frac{1}{2} - \text{sen}(x) \right) dx + \int_{\pi/6}^{\pi/2} \left( \text{sen}(x) - \frac{1}{2} \right) dx$$ 💡 **Tip:** El área siempre es una cantidad positiva. Si una función es negativa en un intervalo $[a,b]$, el área se calcula como $\int_{a}^{b} |f(x)| \, dx$.

Calculamos la primitiva de $f(x) = \frac{1}{2} - \text{sen}(x)$: $$F(x) = \int \left( \frac{1}{2} - \text{sen}(x) \right) dx = \frac{1}{2}x + \cos(x)$$ Aplicamos la regla de Barrow en el intervalo $[0, \pi/6]$: $$A_1 = \left[ \frac{1}{2}x + \cos(x) \right]_{0}^{\pi/6} = \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{6} + \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) \right) - \left( \frac{1}{2} \cdot 0 + \cos(0) \right)$$ $$A_1 = \left( \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2} \right) - (0 + 1) = \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2} - 1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\int \text{sen}(x) \, dx = -\cos(x) + C$.

Para la segunda región, integramos $-f(x) = \text{sen}(x) - \frac{1}{2}$: $$G(x) = \int \left( \text{sen}(x) - \frac{1}{2} \right) dx = -\cos(x) - \frac{1}{2}x$$ Aplicamos Barrow en el intervalo $[\pi/6, \pi/2]$: $$A_2 = \left[ -\cos(x) - \frac{1}{2}x \right]_{\pi/6}^{\pi/2} = \left( -\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) - \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} \right) - \left( -\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) - \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{6} \right)$$ $$A_2 = \left( 0 - \frac{\pi}{4} \right) - \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{12} \right)$$ $$A_2 = -\frac{\pi}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{12} = \frac{-3\pi + \pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{2\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{6}$$

Sumamos ambas áreas para obtener el resultado final: $$A = A_1 + A_2 = \left( \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 \right) + \left( \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{6} \right)$$ $$A = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 + \frac{\pi}{12} - \frac{2\pi}{12}$$ $$A = \sqrt{3} - 1 - \frac{\pi}{12} \text{ unidades}^2$$ Evaluando numéricamente para comprobar: $A \approx 1,732 - 1 - 0,2618 \approx 0,4702 \text{ u}^2$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = \sqrt{3} - 1 - \frac{\pi}{12} \text{ u}^2}$$