Optimización de la producción agrícola

**a) ¿Cuál debe ser el número total de árboles que debe tener la huerta para que la producción sea máxima? (2 puntos)** En primer lugar, definimos las variables del problema basándonos en el enunciado: - Sea $x$ el número de **árboles adicionales** que se plantan sobre los 24 iniciales. - El número total de árboles será: $N(x) = 24 + x$. - La producción media por cada árbol será: $P(x) = 600 - 15x$. La función que queremos maximizar es la **producción total** $f(x)$, que es el producto del número de árboles por la producción de cada uno: $$f(x) = N(x) \cdot P(x) = (24 + x)(600 - 15x)$$ Operamos para simplificar la expresión: $$f(x) = 14400 - 360x + 600x - 15x^2$$ $$f(x) = -15x^2 + 240x + 14400$$ 💡 **Tip:** Definir correctamente la variable $x$ es clave. Podríamos haber elegido $x$ como el número total de árboles, pero usar los árboles "adicionales" suele simplificar los cálculos intermedios.

Para encontrar el máximo de la función, derivamos $f(x)$ respecto a $x$ e igualamos a cero: $$f'(x) = (-15x^2 + 240x + 14400)' = -30x + 240$$ Igualamos la derivada a cero para hallar los puntos críticos: $$-30x + 240 = 0 \implies 30x = 240 \implies x = \frac{240}{30} = 8$$ El valor obtenido $x = 8$ indica que se deben plantar **8 árboles adicionales**. 💡 **Tip:** Recuerda que los puntos donde la pendiente de la recta tangente es nula ($f'(x)=0$) son candidatos a ser máximos o mínimos relativos.

Debemos comprobar que en $x = 8$ existe un máximo. Podemos usar el criterio de la segunda derivada: $$f''(x) = (-30x + 240)' = -30$$ Como $f''(8) = -30 \lt 0$, confirmamos que se trata de un **máximo relativo**. También podemos observar el signo de la derivada a ambos lados del valor crítico: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-24, 8) & 8 & (8, 40) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - \\ \hline f(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array}$$ Como la función crece antes de $x=8$ y decrece después, existe un máximo en $x=8$. ✅ **Resultado (árboles totales):** El número total de árboles es $24 + 8 = 32$. $$\boxed{32 \text{ árboles}}$$

**b) ¿Cuál es esa producción? (0,5 puntos)** Para hallar la producción máxima, sustituimos el valor $x = 8$ en nuestra función de producción total $f(x)$: $$f(8) = -15(8)^2 + 240(8) + 14400$$ $$f(8) = -15(64) + 1920 + 14400$$ $$f(8) = -960 + 1920 + 14400 = 15360$$ Alternativamente, podemos calcularlo usando el número total de árboles (32) y la producción por árbol para ese caso: - Producción por árbol: $600 - 15(8) = 600 - 120 = 480$ frutos. - Producción total: $32 \cdot 480 = 15360$ frutos. ✅ **Resultado (producción):** $$\boxed{15360 \text{ frutos}}$$