Plano determinado por tres puntos y recta perpendicular

**a) Halle la ecuación general o implícita del plano $\pi$ que pasa por $A, B$ y $C$. (1,25 puntos)** Para determinar la ecuación de un plano necesitamos un punto y dos vectores directores que pertenezcan al plano (que no sean paralelos entre sí), o bien un punto y un vector normal (perpendicular). Tomaremos el punto $A(0, -1, 2)$ y construiremos los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$: $$\vec{AB} = B - A = (2 - 0, 2 - (-1), 3 - 2) = (2, 3, 1)$$ $$\vec{AC} = C - A = (0 - 0, 0 - (-1), 3 - 2) = (0, 1, 1)$$ 💡 **Tip:** El plano $\pi$ queda definido por $(A, \vec{AB}, \vec{AC})$. Verificamos que no son proporcionales: $\frac{2}{0} \neq \frac{3}{1}$, por lo que determinan un plano.

El vector normal $\vec{n_\pi}$ se obtiene mediante el producto vectorial de los dos vectores directores del plano: $$\vec{n_\pi} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante desarrollando por la primera fila: $$\vec{n_\pi} = \vec{i} \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{n_\pi} = (3 - 1)\vec{i} - (2 - 0)\vec{j} + (2 - 0)\vec{k} = 2\vec{i} - 2\vec{j} + 2\vec{k}$$ $$\vec{n_\pi} = (2, -2, 2)$$ Podemos simplificar el vector normal dividiendo por 2 para trabajar con valores más sencillos: $\vec{n_\pi} = (1, -1, 1)$. 💡 **Tip:** El vector normal $(A, B, C)$ define los coeficientes de la ecuación implícita $Ax + By + Cz + D = 0$.

La ecuación del plano será de la forma $x - y + z + D = 0$. Para hallar $D$, imponemos que el punto $A(0, -1, 2)$ pertenezca al plano: $$0 - (-1) + 2 + D = 0 \implies 1 + 2 + D = 0 \implies D = -3$$ Sustituyendo el valor de $D$ obtenemos la ecuación general: $$\pi: x - y + z - 3 = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{x - y + z - 3 = 0}$$

**b) Dé las ecuaciones de una recta perpendicular a $\pi$ pasando por $A$. (1,25 puntos)** Si una recta $r$ es perpendicular al plano $\pi$, su vector director $\vec{v_r}$ debe ser paralelo al vector normal del plano $\vec{n_\pi}$. Por tanto, tomamos: - Punto: $A(0, -1, 2)$ - Vector director: $\vec{v_r} = \vec{n_\pi} = (1, -1, 1)$ 💡 **Tip:** Una recta queda unívocamente determinada por un punto y un vector director. Podemos expresar la recta en diferentes formas (paramétrica, continua o vectorial).

Podemos expresar la recta en su **forma paramétrica**: $$r: \begin{cases} x = 0 + \lambda \\ y = -1 - \lambda \\ z = 2 + \lambda \end{cases} \implies \begin{cases} x = \lambda \\ y = -1 - \lambda \\ z = 2 + \lambda \end{cases}$$ O en su **forma continua**: $$\frac{x - 0}{1} = \frac{y - (-1)}{-1} = \frac{z - 2}{1} \implies x = \frac{y + 1}{-1} = z - 2$$ Cualquiera de estas formas es válida como respuesta. ✅ **Resultado:** $$\boxed{r: \begin{cases} x = \lambda \\ y = -1 - \lambda \\ z = 2 + \lambda \end{cases}}$$