Invertibilidad de una matriz y sistemas homogéneos

**a) Halle los valores de $a$ para los cuales la matriz $A$ tiene inversa.** Para que una matriz cuadrada $A$ tenga inversa, es necesario y suficiente que su determinante sea distinto de cero ($|A| \neq 0$). Planteamos el determinante de la matriz $A$: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & a & a+1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & a & a-1 \end{vmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que una matriz $A$ es invertible (o regular) si y solo si su determinante es no nulo. Si $|A| = 0$, la matriz es singular.

Calculamos el valor del determinante aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = [1 \cdot 1 \cdot (a-1) + a \cdot 0 \cdot 1 + (a+1) \cdot 1 \cdot a] - [(a+1) \cdot 1 \cdot 1 + 0 \cdot a \cdot 1 + (a-1) \cdot 1 \cdot a]$$ Operamos cada término: - Productos de la diagonal principal y paralelas: $(a-1) + 0 + (a^2+a) = a^2+2a-1$ - Productos de la diagonal secundaria y paralelas: $(a+1) + 0 + (a^2-a) = a^2+1$ Restamos ambos resultados: $$|A| = (a^2+2a-1) - (a^2+1)$$ $$|A| = a^2+2a-1-a^2-1 = 2a-2$$ 💡 **Tip:** Ten mucho cuidado con los signos al restar el segundo bloque de la regla de Sarrus; es recomendable usar paréntesis.

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos: $$2a-2 = 0 \implies 2a = 2 \implies a = 1$$ - Si **$a = 1$**, entonces $|A| = 0$ y la matriz **no tiene inversa**. - Si **$a \neq 1$**, entonces $|A| \neq 0$ y la matriz **tiene inversa**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a \neq 1}$$

**b) Obtenga la solución del sistema homogéneo cuya matriz es $A$ en los casos en que sea compatible indeterminado.** Un sistema homogéneo $A\cdot X = 0$ siempre es compatible. Para que sea **compatible indeterminado** (infinitas soluciones), el determinante de la matriz de coeficientes debe ser cero, es decir, $|A| = 0$. Según el apartado anterior, esto ocurre cuando **$a = 1$**. Sustituimos $a = 1$ en la matriz $A$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** En un sistema homogéneo, la solución trivial $(0,0,0)$ siempre existe. Si es compatible indeterminado, habrá soluciones distintas de la nula.

El sistema asociado a la matriz con $a=1$ es: $$\begin{cases} x + y + 2z = 0 \\ x + y + 0z = 0 \\ x + y + 0z = 0 \end{cases}$$ Observamos que la segunda y la tercera ecuación son idénticas, por lo que podemos eliminar una. El sistema queda: 1) $x + y + 2z = 0$ 2) $x + y = 0$ De la ecuación (2) despejamos $y$: $$y = -x$$ Sustituimos en la ecuación (1): $$x + (-x) + 2z = 0 \implies 2z = 0 \implies z = 0$$ Para expresar la solución paramétrica, hacemos $x = \lambda$: $$x = \lambda, \quad y = -\lambda, \quad z = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{cases} x = \lambda \\ y = -\lambda \\ z = 0 \end{cases} \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$