Integral de una función racional con grado del numerador superior al denominador

**Calcule $\int \frac{2x^3 - 3x^2 - 2x - 1}{x^2 - x - 2} dx$. (2,5 puntos)** Observamos que el grado del numerador ($3$) es mayor o igual que el grado del denominador ($2$). Por tanto, el primer paso para resolver esta integral racional es realizar la división polinómica. Dividimos $P(x) = 2x^3 - 3x^2 - 2x - 1$ entre $Q(x) = x^2 - x - 2$: $$ \begin{array}{r|l} 2x^3 - 3x^2 - 2x - 1 & x^2 - x - 2 \\ \hline -(2x^3 - 2x^2 - 4x) & 2x - 1 \\ \cline{1-1} -x^2 + 2x - 1 & \\ -(-x^2 + x + 2) & \\ \cline{1-1} x - 3 & \end{array} $$ Obtenemos como cociente $C(x) = 2x - 1$ y como resto $R(x) = x - 3$. Utilizando la propiedad de la división $\frac{P(x)}{Q(x)} = C(x) + \frac{R(x)}{Q(x)}$, podemos reescribir la integral como: $$\int \frac{2x^3 - 3x^2 - 2x - 1}{x^2 - x - 2} dx = \int (2x - 1) dx + \int \frac{x - 3}{x^2 - x - 2} dx$$ 💡 **Tip:** Siempre que el grado del numerador sea mayor o igual al del denominador, empieza dividiendo los polinomios.

Ahora nos centramos en la integral de la fracción propia $\int \frac{x - 3}{x^2 - x - 2} dx$. Primero factorizamos el denominador resolviendo la ecuación de segundo grado $x^2 - x - 2 = 0$: $$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \implies \begin{cases} x_1 = 2 \\ x_2 = -1 \end{cases}$$ Así, $x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$. Planteamos la descomposición en fracciones simples: $$\frac{x - 3}{(x - 2)(x + 1)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 1}$$ Multiplicando por el denominador común: $$x - 3 = A(x + 1) + B(x - 2)$$ Calculamos los valores de $A$ y $B$ dando valores a $x$: - Si $x = 2 \implies 2 - 3 = A(2 + 1) \implies -1 = 3A \implies \mathbf{A = -\frac{1}{3}}$ - Si $x = -1 \implies -1 - 3 = B(-1 - 2) \implies -4 = -3B \implies \mathbf{B = \frac{4}{3}}$ La integral se transforma en: $$\int \frac{x - 3}{x^2 - x - 2} dx = \int \left( \frac{-1/3}{x - 2} + \frac{4/3}{x + 1} \right) dx$$ 💡 **Tip:** Si las raíces del denominador son reales y distintas, la descomposición es del tipo $\frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}$.

Sustituimos todos los términos en la integral original y resolvemos cada parte por separado: $$\int \left( 2x - 1 - \frac{1/3}{x - 2} + \frac{4/3}{x + 1} \right) dx$$ Integramos término a término: 1. $\int 2x \, dx = x^2$ 2. $\int -1 \, dx = -x$ 3. $\int -\frac{1/3}{x - 2} dx = -\frac{1}{3} \ln|x - 2|$ 4. $\int \frac{4/3}{x + 1} dx = \frac{4}{3} \ln|x + 1|$ Agrupando todo y añadiendo la constante de integración $C$: ✅ **Resultado final:** $$\boxed{I = x^2 - x - \frac{1}{3} \ln|x - 2| + \frac{4}{3} \ln|x + 1| + C}$$ 💡 **Tip:** No olvides el valor absoluto dentro de los logaritmos, ya que el dominio de la función logaritmo son los números reales positivos.