Estudio completo de la función exponencial con exponente cuadrático

**a) Calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. (1 punto)** Para estudiar la monotonía de la función $f(x) = x^2 e^{-x^2}$, primero calculamos su derivada utilizando la regla del producto y la regla de la cadena: $$f'(x) = (x^2)' \cdot e^{-x^2} + x^2 \cdot (e^{-x^2})'$$ $$f'(x) = 2x e^{-x^2} + x^2 e^{-x^2}(-2x)$$ $$f'(x) = 2x e^{-x^2} - 2x^3 e^{-x^2}$$ Podemos simplificar sacando factor común $2x e^{-x^2}$: $$f'(x) = 2x e^{-x^2} (1 - x^2)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $e^{u(x)}$ es $u'(x) e^{u(x)}$. En este caso, $u(x) = -x^2$, por lo que su derivada es $-2x$. $$\boxed{f'(x) = 2x(1-x^2)e^{-x^2}}$$

Los puntos críticos ocurren cuando $f'(x) = 0$ o la derivada no existe. En este caso, la función es derivable en todo $\mathbb{R}$. Resolvemos $f'(x) = 0$: $$2x(1-x^2)e^{-x^2} = 0$$ Como la función exponencial $e^{-x^2}$ es siempre estrictamente positiva ($e^{-x^2} > 0$ para todo $x$), las soluciones provienen de: 1. $2x = 0 \implies x = 0$ 2. $1 - x^2 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = 1, x = -1$ Los puntos críticos son **$x = -1$**, **$x = 0$** y **$x = 1$**.

Dividimos la recta real en intervalos definidos por los puntos críticos y analizamos el signo de $f'(x)$ en cada uno: $$ \begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,0) & 0 & (0,1) & 1 & (1,+\infty)\\ \hline 2x & - & - & - & 0 & + & + & +\\ 1-x^2 & - & 0 & + & + & + & 0 & -\\ e^{-x^2} & + & + & + & + & + & + & +\\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + & 0 & - \end{array} $$ Interpretación de la tabla: - En $(-\infty, -1)$, $f'(x) > 0$, la función es **creciente**. - En $(-1, 0)$, $f'(x) < 0$, la función es **decreciente**. - En $(0, 1)$, $f'(x) > 0$, la función es **creciente**. - En $(1, +\infty)$, $f'(x) < 0$, la función es **decreciente**. ✅ **Resultado (Intervalos):** $$\boxed{\begin{aligned} \text{Crecimiento: } & (-\infty, -1) \cup (0, 1) \\ \text{Decrecimiento: } & (-1, 0) \cup (1, +\infty) \end{aligned}}$$

**b) Halle, si existen, los máximos y mínimos de la función. (0,75 puntos)** Utilizando el criterio de la primera derivada basado en el cambio de signo analizado en el paso anterior: - En **$x = -1$**, la función pasa de crecer a decrecer. Hay un **máximo relativo**. $$y = f(-1) = (-1)^2 e^{-(-1)^2} = 1 \cdot e^{-1} = \frac{1}{e} \approx 0.368$$ - En **$x = 0$**, la función pasa de decrecer a crecer. Hay un **mínimo relativo**. $$y = f(0) = (0)^2 e^{-(0)^2} = 0 \cdot 1 = 0$$ - En **$x = 1$**, la función pasa de crecer a decrecer. Hay un **máximo relativo**. $$y = f(1) = (1)^2 e^{-(1)^2} = 1 \cdot e^{-1} = \frac{1}{e} \approx 0.368$$ 💡 **Tip:** Nota que la función es simétrica respecto al eje $Y$ (es una función par), ya que $f(-x) = (-x)^2 e^{-(-x)^2} = x^2 e^{-x^2} = f(x)$. ✅ **Resultado (Extremos):** $$\boxed{\text{Máximos: } (-1, 1/e) \text{ y } (1, 1/e); \quad \text{Mínimo: } (0, 0)}$$

**c) Dibuje aproximadamente su gráfica. (0,75 puntos)** Antes de dibujar, calculamos los límites en el infinito para conocer las asíntotas horizontales: $$\lim_{x o \pm\infty} x^2 e^{-x^2} = \lim_{x o \pm\infty} \frac{x^2}{e^{x^2}}$$ Como es una indeterminación del tipo $\frac{\infty}{\infty}$, aplicamos la regla de L'Hôpital: $$\lim_{x o \pm\infty} \frac{2x}{2x e^{x^2}} = \lim_{x o \pm\infty} \frac{1}{e^{x^2}} = 0$$ Por tanto, existe una **asíntota horizontal en $y = 0$** tanto en $+\infty$ como en $-\infty$.

Con los datos obtenidos: 1. Pasa por el origen $(0,0)$, que es un mínimo. 2. Tiene dos máximos en $(\pm 1, 1/e)$. 3. La función es siempre positiva o cero ($f(x) \ge 0$). 4. Se aproxima al eje $X$ ($y=0$) cuando $x$ se hace muy grande o muy pequeño. Aquí tienes la representación gráfica detallada: