Recta perpendicular a un plano y distancia punto-plano

**a) Las ecuaciones de una recta que pase por el punto $P$ y sea perpendicular al plano $\pi$. (1,25 puntos)** Para que una recta $r$ sea perpendicular a un plano $\pi$, el vector director de la recta, $\vec{v}_r$, debe tener la misma dirección que el vector normal del plano, $\vec{n}_\pi$. El plano está definido por la ecuación general $\pi: x - y + z + 2 = 0$. Los coeficientes de $x, y, z$ nos dan directamente las componentes del vector normal: $$\vec{n}_\pi = (1, -1, 1)$$ Por tanto, tomamos como vector director de nuestra recta: $$\vec{v}_r = \vec{n}_\pi = (1, -1, 1)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si un plano tiene por ecuación $Ax + By + Cz + D = 0$, su vector normal es $\vec{n} = (A, B, C)$.

Conocemos el punto $P(-1, 0, 1)$ por el que pasa la recta y su vector director $\vec{v}_r = (1, -1, 1)$. Podemos expresar la recta en **ecuaciones paramétricas**: $$\begin{cases} x = -1 + \lambda \\ y = -\lambda \\ z = 1 + \lambda \end{cases}$$ O bien, en su **ecuación continua**: $$\frac{x - (-1)}{1} = \frac{y - 0}{-1} = \frac{z - 1}{1} \implies \frac{x + 1}{1} = \frac{y}{-1} = \frac{z - 1}{1}$$ ✅ **Resultado (ecuaciones de la recta):** $$\boxed{r: \begin{cases} x = -1 + \lambda \\ y = -\lambda \\ z = 1 + \lambda \end{cases}}$$

**b) La distancia $d$ del punto $P$ al plano $\pi$. (1,25 puntos)** Para calcular la distancia de un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $\pi: Ax + By + Cz + D = 0$, utilizamos la fórmula: $$d(P, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Sustituimos los datos de nuestro ejercicio: - Punto $P(-1, 0, 1)$ - Plano $\pi: 1x - 1y + 1z + 2 = 0$ $$d(P, \pi) = \frac{|1(-1) + (-1)(0) + 1(1) + 2|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2}}$$ Calculamos el numerador y el denominador por separado: Numerador: $|-1 + 0 + 1 + 2| = |2| = 2$ Denominador: $\sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$ Por tanto: $$d(P, \pi) = \frac{2}{\sqrt{3}}$$ Racionalizamos multiplicando por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$: $$d(P, \pi) = \frac{2\sqrt{3}}{3} \text{ unidades de longitud}$$ 💡 **Tip:** No olvides el valor absoluto en el numerador; una distancia siempre debe ser un valor positivo o cero. ✅ **Resultado (distancia):** $$\boxed{d = \frac{2\sqrt{3}}{3} \approx 1,155 \text{ u.l.}}$$