Discusión de un sistema con parámetros

**a) Estudie su compatibilidad según los valores del número real $a$. (1,5 puntos)** Primero, escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$ para identificar la matriz de coeficientes ($A$) y la matriz ampliada ($A^*$): $$A = \begin{pmatrix} -a & 2 & 0 \\ 1 & -(1+a) & 0 \\ 0 & 0 & 1-a \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} -a & 2 & 0 & a \\ 1 & -(1+a) & 0 & a \\ 0 & 0 & 1-a & 1 \end{array}\right)$$ Para estudiar el rango de $A$, calculamos su determinante mediante el desarrollo por la tercera fila (aprovechando los ceros): $$|A| = (1-a) \cdot \begin{vmatrix} -a & 2 \\ 1 & -(1+a) \end{vmatrix} = (1-a) [(-a)(-(1+a)) - 2]$$ $$|A| = (1-a) [a(1+a) - 2] = (1-a)(a^2 + a - 2)$$ 💡 **Tip:** Para discutir sistemas con parámetros, el primer paso suele ser hallar el determinante de la matriz de coeficientes e igualarlo a cero para encontrar los valores críticos.

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores de $a$ que cambian el rango de la matriz: $$(1-a)(a^2 + a - 2) = 0$$ Esto nos da dos ecuaciones: 1. $1 - a = 0 \implies a = 1$ 2. $a^2 + a - 2 = 0$. Aplicando la fórmula de la ecuación de segundo grado: $$a = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \implies a = 1, \; a = -2$$ Los valores críticos son **$a = 1$** (raíz doble) y **$a = -2$**. 💡 **Tip:** Si una raíz es doble, el análisis del rango suele ser más delicado en ese punto.

Si $a \neq 1$ y $a \neq -2$, entonces el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero: $$|A| \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 3$$ Como el rango de $A$ es igual al rango de la matriz ampliada $A^*$ y coincide con el número de incógnitas (3), aplicamos el **Teorema de Rouché-Capelli**: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a \neq 1, -2: \text{ Sistema Compatible Determinado (SCD) - Solución única}}$$

Sustituimos $a = 1$ en la matriz ampliada: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} -1 & 2 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$$ Analizamos la tercera fila: $0x + 0y + 0z = 1$. Esta ecuación es imposible ($0 = 1$), por lo tanto el sistema no tiene solución. Formalmente: - $\text{rango}(A) = 1$ (ya que las filas 1 y 2 son proporcionales y la 3 es nula). - $\text{rango}(A^*) = 2$ (el menor $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}$ formado por las filas 2, 3 y columnas 1, 4 es distinto de cero). Como $\text{rango}(A) \neq \text{rango}(A^*)$: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a = 1: \text{ Sistema Incompatible (SI) - No tiene solución}}$$

Sustituimos $a = -2$ en la matriz ampliada: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 2 & 0 & -2 \\ 1 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 3 & 1 \end{array}\right)$$ - $\text{rango}(A)$: El menor $\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = 3 \neq 0$, por lo que $\text{rango}(A) = 2$. - $\text{rango}(A^*)$: Calculamos un menor de orden 3 que incluya la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 2 & 0 & -2 \\ 1 & 0 & -2 \\ 0 & 3 & 1 \end{vmatrix} = -3 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -3 \cdot (-4 + 2) = 6 \neq 0$$ Entonces $\text{rango}(A^*) = 3$. Como $\text{rango}(A) \neq \text{rango}(A^*)$: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a = -2: \text{ Sistema Incompatible (SI) - No tiene solución}}$$

**b) Resuélvalo, si es posible, cuando $a = -1$. (1 punto)** Como $a = -1$ no es ni $1$ ni $-2$, el sistema es **Compatible Determinado**. Sustituimos el valor en el sistema original: $$\begin{cases} -(-1)x + 2y = -1 \\ x - (1-1)y = -1 \\ (1-(-1))z = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x + 2y = -1 \\ x = -1 \\ 2z = 1 \end{cases}$$ Resolvemos paso a paso: 1. De la segunda ecuación directamente obtenemos: **$x = -1$**. 2. Sustituimos $x = -1$ en la primera ecuación: $$-1 + 2y = -1 \implies 2y = 0 \implies y = 0.$$ 3. De la tercera ecuación despejamos $z$: $$2z = 1 \implies z = \frac{1}{2}.$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = -1, \; y = 0, \; z = \dfrac{1}{2}}$$