Integral indefinida por partes

Para resolver la integral $\int \sqrt{x} \ln^2 x dx$, observamos que tenemos el producto de una función irracional (potencial) y una función logarítmica elevada al cuadrado. En estos casos, el método más adecuado es la **integración por partes**. Escribimos la función raíz como una potencia para facilitar los cálculos: $$\int x^{1/2} \ln^2 x \, dx$$ 💡 **Tip:** Recuerda la regla mnemotécnica **ALPES** para elegir $u$: **A**rco, **L**ogaritmo, **P**otencia, **E**xponencial, **S**eno/Coseno. Aquí el logaritmo va antes que la potencia.

Aplicamos la fórmula $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Elegimos las partes de la siguiente manera: - $u = \ln^2 x \implies du = 2\ln x \cdot \dfrac{1}{x} dx$ - $dv = x^{1/2} dx \implies v = \displaystyle\int x^{1/2} dx = \dfrac{x^{3/2}}{3/2} = \dfrac{2}{3}x^{3/2}$ Sustituyendo en la fórmula: $$\int x^{1/2} \ln^2 x \, dx = \left( \ln^2 x \right) \left( \dfrac{2}{3}x^{3/2} \right) - \int \dfrac{2}{3}x^{3/2} \cdot \dfrac{2\ln x}{x} dx$$ Simplificamos la expresión dentro de la integral: $$\dfrac{2}{3}x^{3/2} \ln^2 x - \dfrac{4}{3} \int x^{3/2} \cdot x^{-1} \ln x \, dx = \dfrac{2}{3}x^{3/2} \ln^2 x - \dfrac{4}{3} \int x^{1/2} \ln x \, dx$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $\ln^2 x$ se calcula usando la regla de la cadena: $2\ln x$ por la derivada de $\ln x$.

Necesitamos resolver la nueva integral $I_2 = \int x^{1/2} \ln x \, dx$ aplicando de nuevo el método por partes: - $u_1 = \ln x \implies du_1 = \dfrac{1}{x} dx$ - $dv_1 = x^{1/2} dx \implies v_1 = \dfrac{2}{3}x^{3/2}$ Aplicamos la fórmula: $$I_2 = \dfrac{2}{3}x^{3/2} \ln x - \int \dfrac{2}{3}x^{3/2} \cdot \dfrac{1}{x} dx = \dfrac{2}{3}x^{3/2} \ln x - \dfrac{2}{3} \int x^{1/2} dx$$ Resolvemos la integral inmediata restante: $$I_2 = \dfrac{2}{3}x^{3/2} \ln x - \dfrac{2}{3} \left( \dfrac{2}{3}x^{3/2} \right) = \dfrac{2}{3}x^{3/2} \ln x - \dfrac{4}{9}x^{3/2}$$

Sustituimos el resultado de $I_2$ en la expresión general obtenida en el paso 2: $$\int \sqrt{x} \ln^2 x \, dx = \dfrac{2}{3}x^{3/2} \ln^2 x - \dfrac{4}{3} \left( \dfrac{2}{3}x^{3/2} \ln x - \dfrac{4}{9}x^{3/2} \right) + C$$ Operamos para quitar los paréntesis: $$\dfrac{2}{3}x^{3/2} \ln^2 x - \dfrac{8}{9}x^{3/2} \ln x + \dfrac{16}{27}x^{3/2} + C$$ Podemos expresar el resultado de forma más elegante extrayendo factor común: $$\dfrac{2}{27}x^{3/2} \left( 9\ln^2 x - 12\ln x + 8 \right) + C$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int \sqrt{x} \ln^2 x \, dx = \dfrac{2}{3}x\sqrt{x} \ln^2 x - \dfrac{8}{9}x\sqrt{x} \ln x + \dfrac{16}{27}x\sqrt{x} + C}$$