Cálculo de un límite con indeterminación infinito menos infinito

Para resolver el límite $\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{\ln(1+x)} - \frac{1}{x} \right)$, evaluamos el comportamiento de cada término cuando $x \to 0$: - Como $\ln(1+x) \to \ln(1) = 0$, entonces $\frac{1}{\ln(1+x)} \to \infty$. - Como $x \to 0$, entonces $\frac{1}{x} \to \infty$. Estamos ante una indeterminación de tipo **$\infty - \infty$**. 💡 **Tip:** Para resolver límites del tipo $\infty - \infty$, el primer paso suele ser realizar la operación (suma o resta) para convertir la expresión en un único cociente y así poder aplicar la regla de L'Hôpital.

Operamos la fracción buscando un denominador común: $$\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{\ln(1+x)} - \frac{1}{x} \right) = \lim_{x \to 0} \frac{x - \ln(1+x)}{x \ln(1+x)}$$ Evaluamos el límite en $x = 0$ para comprobar el nuevo tipo de indeterminación: - Numerador: $0 - \ln(1+0) = 0 - 0 = 0$. - Denominador: $0 \cdot \ln(1+0) = 0 \cdot 0 = 0$. Obtenemos una indeterminación del tipo **$\frac{0}{0}$**, lo que nos permite aplicar la **regla de L'Hôpital**.

Derivamos el numerador y el denominador de forma independiente: - Derivada del numerador: $(x - \ln(1+x))' = 1 - \dfrac{1}{1+x} = \dfrac{1+x-1}{1+x} = \dfrac{x}{1+x}$. - Derivada del denominador (regla del producto): $(x \ln(1+x))' = 1 \cdot \ln(1+x) + x \cdot \dfrac{1}{1+x} = \ln(1+x) + \dfrac{x}{1+x}$. Aplicamos el límite: $$\lim_{x \to 0} \frac{x - \ln(1+x)}{x \ln(1+x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\dfrac{x}{1+x}}{\ln(1+x) + \dfrac{x}{1+x}}$$ Si evaluamos en $x=0$, obtenemos de nuevo $\frac{0}{0}$. Antes de aplicar L'Hôpital otra vez, simplificaremos la expresión multiplicando numerador y denominador por $(1+x)$ para evitar derivadas de cocientes complejos: $$\lim_{x \to 0} \frac{\dfrac{x}{1+x}}{\dfrac{(1+x)\ln(1+x) + x}{1+x}} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{(1+x)\ln(1+x) + x}$$ 💡 **Tip:** Simplificar la expresión después de derivar suele facilitar mucho los pasos siguientes si hay que volver a aplicar L'Hôpital.

Volvemos a comprobar que el límite es $\frac{0}{0}$ y derivamos de nuevo: - Derivada del numerador: $(x)' = 1$. - Derivada del denominador: $[(1+x)\ln(1+x) + x]' = 1 \cdot \ln(1+x) + (1+x) \cdot \dfrac{1}{1+x} + 1 = \ln(1+x) + 1 + 1 = \ln(1+x) + 2$. Aplicamos la regla de L'Hôpital: $$\lim_{x \to 0} \frac{x}{(1+x)\ln(1+x) + x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\ln(1+x) + 2}$$ Ahora sustituimos $x = 0$: $$\lim_{x \to 0} \frac{1}{\ln(1+0) + 2} = \frac{1}{0 + 2} = \frac{1}{2}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{\ln(1+x)} - \frac{1}{x} \right) = \frac{1}{2}}$$