Simetría de un punto respecto a un plano e intersección de recta y plano

**a) Obtenga el punto $P'$ simétrico de $P$ respecto de $\pi$. (1,5 puntos)** Para hallar el punto simétrico $P'$, primero calculamos la recta $r$ que es perpendicular al plano $\pi$ y que pasa por el punto $P$. El vector normal del plano $\pi: x - y + z = -1$ es: $$\vec{n}_{\pi} = (1, -1, 1)$$ Como la recta $r$ es perpendicular al plano, su vector director $\vec{v}_r$ coincide con el vector normal del plano: $$\vec{v}_r = \vec{n}_{\pi} = (1, -1, 1)$$ Usando el punto $P(1, 0, 1)$, escribimos las ecuaciones paramétricas de la recta $r$: $$r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = -\lambda \\ z = 1 + \lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si una recta es perpendicular a un plano, el vector normal del plano sirve como vector director de la recta.

El punto $M$ será la intersección de la recta $r$ con el plano $\pi$. Este punto $M$ es la proyección ortogonal de $P$ sobre el plano y será el punto medio entre $P$ y su simétrico $P'$. Sustituimos las expresiones de $x, y, z$ de la recta en la ecuación del plano $x - y + z = -1$: $$(1 + \lambda) - (-\lambda) + (1 + \lambda) = -1$$ $$1 + \lambda + \lambda + 1 + \lambda = -1$$ $$3\lambda + 2 = -1$$ $$3\lambda = -3 \implies \lambda = -1$$ Ahora hallamos las coordenadas de $M$ sustituyendo $\lambda = -1$ en las paramétricas de $r$: $$x_M = 1 + (-1) = 0$$ $$y_M = -(-1) = 1$$ $$z_M = 1 + (-1) = 0$$ Por tanto, el punto de intersección es **$M(0, 1, 0)$**.

Dado que $M(0, 1, 0)$ es el punto medio del segmento que une $P(1, 0, 1)$ con su simétrico $P'(x', y', z')$, se debe cumplir: $$M = \frac{P + P'}{2} \implies (0, 1, 0) = \left( \frac{1 + x'}{2}, \frac{0 + y'}{2}, \frac{1 + z'}{2} \right)$$ Igualamos componente a componente: 1. $0 = \dfrac{1 + x'}{2} \implies 0 = 1 + x' \implies x' = -1$ 2. $1 = \dfrac{0 + y'}{2} \implies 2 = y' \implies y' = 2$ 3. $0 = \dfrac{1 + z'}{2} \implies 0 = 1 + z' \implies z' = -1$ 💡 **Tip:** El punto simétrico siempre se encuentra a la misma distancia del plano que el punto original, pero en sentido opuesto, por eso la proyección ortogonal es el punto medio. ✅ **Resultado (punto simétrico):** $$\boxed{P'(-1, 2, -1)}$$

**b) Halle el punto de corte del plano $\pi$ con la recta que pasa por $P$ y $P'$. (1 punto)** Por definición de punto simétrico respecto a un plano, la recta que une un punto $P$ con su simétrico $P'$ es perpendicular a dicho plano y lo corta en el punto medio $M$ del segmento $PP'$. En el apartado anterior, hemos construido precisamente la recta $r$ que pasa por $P$ y es perpendicular al plano $\pi$. Esta recta pasa también por $P'$, por lo que la recta $PP'$ es la recta $r$. El punto de corte de esta recta con el plano $\pi$ es el punto $M$ que ya hemos calculado: $$M(0, 1, 0)$$ No es necesario realizar cálculos adicionales, ya que el punto de intersección entre la recta que une un punto y su simétrico con respecto al plano es siempre el punto que sirve como referencia para la simetría (el pie de la perpendicular). ✅ **Resultado (punto de corte):** $$\boxed{M(0, 1, 0)}$$