Invertibilidad y cálculo de matriz inversa con funciones trigonométricas

**a) Estudie para qué valores de $\theta$ la matriz $A$ tiene inversa. (1 punto)** Una matriz cuadrada $A$ tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Además, en este caso, debemos asegurar que los elementos de la matriz (secante y tangente) estén definidos. Calculamos el determinante de $A$ desarrollando por la tercera fila (o tercera columna), ya que contiene dos ceros: $$|A| = \begin{vmatrix} \sec \theta & \tan \theta & 0 \\ \tan \theta & \sec \theta & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{vmatrix} = (-1) \cdot \begin{vmatrix} \sec \theta & \tan \theta \\ \tan \theta & \sec \theta \end{vmatrix}$$ Aplicamos la definición de determinante de orden 2: $$|A| = (-1) \cdot (\sec^2 \theta - \tan^2 \theta)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que una matriz es invertible (o regular) si su determinante es no nulo. Si el determinante es cero, la matriz es singular.

Para simplificar la expresión del determinante, utilizamos la identidad fundamental de la trigonometría: $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$. Dividiendo toda la expresión por $\cos^2 \theta$, obtenemos la relación entre secante y tangente: $$\frac{\cos^2 \theta}{\cos^2 \theta} + \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{1}{\cos^2 \theta} \implies 1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$$ De aquí se deduce que: $$\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$$ Sustituyendo este valor en nuestro determinante: $$|A| = (-1) \cdot (1) = -1$$ Como $|A| = -1 \neq 0$, el determinante nunca se anula para ningún valor de $\theta$ donde la matriz esté definida. 💡 **Tip:** Las identidades pitagóricas son esenciales para simplificar expresiones en ejercicios de matrices con parámetros trigonométricos.

Aunque el determinante sea constante, debemos considerar que $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$ y $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ no están definidas cuando el denominador es cero. Buscamos los valores donde $\cos \theta = 0$ dentro del intervalo $[-\pi, \pi]$: $$\cos \theta = 0 \implies \theta = \frac{\pi}{2} \quad \text{y} \quad \theta = -\frac{\pi}{2}$$ En estos puntos, los elementos de la matriz no son números reales finitos, por lo que la matriz no existe. Conclusión del apartado a): La matriz $A$ tiene inversa para todo $\theta \in [-\pi, \pi]$ excepto para $\theta = \pm \frac{\pi}{2}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\theta \in [-\pi, \pi] \setminus \left\{ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right\}}$$

**b) Busque, si es posible, la matriz inversa de $A$ cuando $\theta = \frac{\pi}{4}$. (1,5 puntos)** Primero, calculamos los valores trigonométricos para $\theta = \frac{\pi}{4}$: - $\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$ - $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \implies \sec\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\cos(\pi/4)} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ Sustituimos en la matriz $A$: $$A = \begin{pmatrix} \sqrt{2} & 1 & 0 \\ 1 & \sqrt{2} & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$ Sabemos del apartado anterior que $|A| = -1$ (independiente de $\theta$ si está definida). 💡 **Tip:** Para calcular la matriz inversa usamos la fórmula: $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A)^t$.

Calculamos los cofactores $C_{ij}$ para obtener la matriz adjunta $\text{Adj}(A)$: - $C_{11} = +\begin{vmatrix} \sqrt{2} & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = -\sqrt{2}$ - $C_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = -(-1) = 1$ - $C_{13} = +\begin{vmatrix} 1 & \sqrt{2} \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $C_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = -(-1) = 1$ - $C_{22} = +\begin{vmatrix} \sqrt{2} & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = -\sqrt{2}$ - $C_{23} = -\begin{vmatrix} \sqrt{2} & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $C_{31} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ \sqrt{2} & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $C_{32} = -\begin{vmatrix} \sqrt{2} & 0 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $C_{33} = +\begin{vmatrix} \sqrt{2} & 1 \\ 1 & \sqrt{2} \end{vmatrix} = (\sqrt{2})^2 - 1 = 2 - 1 = 1$ La matriz de adjuntos es: $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} -\sqrt{2} & 1 & 0 \\ 1 & -\sqrt{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Como es una matriz simétrica, su traspuesta es igual a ella misma: $\text{Adj}(A)^t = \text{Adj}(A)$.

Aplicamos la fórmula final dividiendo por el determinante $|A| = -1$: $$A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} -\sqrt{2} & 1 & 0 \\ 1 & -\sqrt{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Multiplicamos cada elemento por $-1$: $$A^{-1} = \begin{pmatrix} \sqrt{2} & -1 & 0 \\ -1 & \sqrt{2} & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$ Podemos comprobar opcionalmente que $A \cdot A^{-1} = I$ para verificar el resultado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} \sqrt{2} & -1 & 0 \\ -1 & \sqrt{2} & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}}$$