Punto de una curva más próximo a un punto dado

Para encontrar el punto de la curva $y = \sqrt{x}$ más cercano al punto $A(4,0)$, primero definimos un punto genérico $P(x, y)$ que pertenezca a dicha curva. Como el punto está en la curva, sus coordenadas son de la forma: $$P(x, \sqrt{x}) \quad \text{con } x \ge 0$$ La distancia entre dos puntos $P(x_1, y_1)$ y $A(x_2, y_2)$ viene dada por la fórmula: $$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$ Sustituyendo nuestros puntos $P(x, \sqrt{x})$ y $A(4,0)$: $$d(x) = \sqrt{(x - 4)^2 + (\sqrt{x} - 0)^2}$$ 💡 **Tip:** Minimizar la distancia $d(x)$ es equivalente a minimizar su cuadrado $d^2(x)$, lo cual simplifica notablemente los cálculos al eliminar la raíz cuadrada. Definimos por tanto la función a optimizar como $f(x) = [d(x)]^2$.

Desarrollamos la expresión de $f(x)$ para que sea más fácil de derivar: $$f(x) = (x - 4)^2 + (\sqrt{x})^2$$ $$f(x) = (x^2 - 8x + 16) + x$$ $$f(x) = x^2 - 7x + 16$$ El dominio de nuestra función, dado que proviene de $y = \sqrt{x}$, es **$D_f = [0, +\infty)$**. $$\boxed{f(x) = x^2 - 7x + 16}$$

Para hallar el mínimo, calculamos la primera derivada de la función y la igualamos a cero: $$f'(x) = 2x - 7$$ Resolvemos $f'(x) = 0$: $$2x - 7 = 0 \implies 2x = 7 \implies x = \frac{7}{2} = 3.5$$ Este es nuestro candidato a **punto más próximo**. Como el valor $3.5$ pertenece al dominio ($3.5 \gt 0$), procedemos a verificar que se trata de un mínimo.

Utilizamos la segunda derivada para comprobar si es un mínimo relativo: $$f''(x) = 2$$ Como $f''(x) = 2 \gt 0$ para cualquier valor de $x$, la función es siempre convexa (forma de U), lo que garantiza que en $x = 3.5$ existe un **mínimo absoluto**. También podemos observar el cambio de signo de la primera derivada: $$\begin{array}{c|ccc} x & [0, 3.5) & 3.5 & (3.5, +\infty)\\\hline f'(x) = 2x-7 & - & 0 & +\\\hline \text{Monotonía} & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si $f''(a) \gt 0$, entonces hay un mínimo relativo en $x=a$.

Una vez hallada la abscisa $x = \frac{7}{2}$, calculamos la ordenada $y$ sustituyendo en la ecuación de la curva $y = \sqrt{x}$: $$y = \sqrt{\frac{7}{2}} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14}}{2} \approx 1.87$$ Por tanto, el punto de la curva más próximo a $A(4,0)$ es: ✅ **Resultado final:** $$\boxed{P\left(\frac{7}{2}, \sqrt{\frac{7}{2}}\right) \approx P(3.5, 1.87)}$$