Área entre parábola y sus rectas tangentes

**a) Dibuje el recinto plano limitado por la parábola $y = 4x - x^2$ y las tangentes a la curva en los puntos de intersección con el eje de las abscisas. (1,5 puntos)** Primero, calculamos los puntos donde la parábola $f(x) = 4x - x^2$ corta al eje $OX$ (eje de abscisas, donde $y=0$): $$4x - x^2 = 0 \implies x(4 - x) = 0$$ Esto nos da dos soluciones: - $x_1 = 0 \implies$ Punto $P_1(0, 0)$ - $x_2 = 4 \implies$ Punto $P_2(4, 0)$ 💡 **Tip:** Para hallar los puntos de corte con el eje $OX$, siempre igualamos la función a cero y resolvemos la ecuación resultante.

Para hallar las ecuaciones de las rectas tangentes, necesitamos la derivada de la función, que nos da la pendiente en cada punto: $$f'(x) = 4 - 2x$$ **Recta tangente en $P_1(0, 0)$:** - Pendiente: $m_1 = f'(0) = 4 - 2(0) = 4$ - Ecuación: $y - 0 = 4(x - 0) \implies y = 4x$ **Recta tangente en $P_2(4, 0)$:** - Pendiente: $m_2 = f'(4) = 4 - 2(4) = -4$ - Ecuación: $y - 0 = -4(x - 4) \implies y = -4x + 16$ 💡 **Tip:** Recuerda que la ecuación de la recta tangente en un punto $a$ es $y - f(a) = f'(a)(x - a)$.

Para dibujar el recinto con precisión, buscamos el punto donde se cruzan ambas tangentes: $$4x = -4x + 16 \implies 8x = 16 \implies x = 2$$ Si $x = 2$, entonces $y = 4(2) = 8$. El punto de intersección es $V(2, 8)$. La parábola tiene su vértice en $x = -b/2a = -4/(-2) = 2$, con $y = 4(2) - 2^2 = 4$. Por tanto, el vértice de la parábola es $(2, 4)$. El recinto está limitado superiormente por las dos rectas tangentes e inferiormente por la parábola. "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "parabola", "latex": "f(x) = 4x - x^2", "color": "#2563eb" }, { "id": "t1", "latex": "g(x) = 4x", "color": "#ef4444" }, { "id": "t2", "latex": "h(x) = -4x + 16", "color": "#ef4444" }, { "id": "sombreado1", "latex": "4x - x^2 \\le y \\le 4x \\{0 \\le x \\le 2\\}", "color": "#93c5fd" }, { "id": "sombreado2", "latex": "4x - x^2 \\le y \\le -4x + 16 \\{2 \\le x \\le 4\\}", "color": "#93c5fd" } ], "bounds": { "left": -1, "right": 5, "bottom": -1, "top": 9 } } }

**b) Halle el área del recinto dibujado en a). (1 punto)** El área se puede calcular dividiendo el recinto en dos partes simétricas respecto a $x=2$ o restando el área bajo la parábola al área del triángulo formado por las tangentes. **Método 1: Resta de áreas** El área del triángulo con vértices $(0,0)$, $(4,0)$ y $(2,8)$ es: $$A_{triángulo} = \frac{\text{base} \cdot \text{altura}}{2} = \frac{4 \cdot 8}{2} = 16 \text{ u}^2$$ El área bajo la parábola entre $x=0$ y $x=4$ es: $$A_{parábola} = \int_{0}^{4} (4x - x^2) \, dx$$ 💡 **Tip:** El área entre dos funciones $g(x)$ y $f(x)$ en un intervalo $[a,b]$ es $\int_a^b (g(x) - f(x)) \, dx$, donde $g(x)$ es la función superior.

Calculamos la integral de la parábola aplicando la regla de Barrow: $$A_{parábola} = \left[ 2x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{4} = \left( 2(4)^2 - \frac{4^3}{3} \right) - (0) = 32 - \frac{64}{3} = \frac{96 - 64}{3} = \frac{32}{3} \text{ u}^2$$ El área del recinto solicitado es la diferencia: $$Area = A_{triángulo} - A_{parábola} = 16 - \frac{32}{3} = \frac{48 - 32}{3} = \frac{16}{3} \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{16}{3} \approx 5,33 \text{ u}^2}$$