Geometría en el espacio: planos y distancias

**a) Dé la ecuación de un plano $\pi_1$ que pase por A y O, y sea perpendicular a $\pi_2 : 3x - 5y + 2z = 11$. (1,25 puntos)** Para determinar la ecuación de un plano, necesitamos un punto y su vector normal (o un punto y dos vectores directores). 1. El plano $\pi_1$ pasa por los puntos $O(0,0,0)$ y $A(1,2,-3)$. Por tanto, el vector que los une es un vector contenido en el plano: $$\vec{v}_1 = \vec{OA} = (1 - 0, 2 - 0, -3 - 0) = (1, 2, -3)$$ 2. El plano $\pi_1$ es perpendicular a $\pi_2 : 3x - 5y + 2z = 11$. El vector normal de $\pi_2$ es $\vec{n}_2 = (3, -5, 2)$. Como los planos son perpendiculares, el vector normal de uno es paralelo al plano del otro. Por tanto, $\vec{n}_2$ actúa como el segundo vector director de $\pi_1$: $$\vec{v}_2 = (3, -5, 2)$$ 💡 **Tip:** Si un plano $\pi_1$ es perpendicular a otro $\pi_2$, el vector normal del segundo, $\vec{n}_2$, es paralelo al primero. Es decir, $\vec{n}_2$ es un vector director de $\pi_1$.

Para hallar el vector normal $\vec{n}_1$ del plano buscado, calculamos el producto vectorial de sus dos vectores directores $\vec{v}_1$ y $\vec{v}_2$: $$\vec{n}_1 = \vec{v}_1 \times \vec{v}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & -3 \\ 3 & -5 & 2 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante por la regla de Sarrus: $$\vec{n}_1 = [(2)(2)\vec{i} + (-3)(3)\vec{j} + (1)(-5)\vec{k}] - [(3)(2)\vec{k} + (-5)(-3)\vec{i} + (2)(1)\vec{j}]$$ $$\vec{n}_1 = (4\vec{i} - 9\vec{j} - 5\vec{k}) - (6\vec{k} + 15\vec{i} + 2\vec{j})$$ $$\vec{n}_1 = (4 - 15)\vec{i} + (-9 - 2)\vec{j} + (-5 - 6)\vec{k} = -11\vec{i} - 11\vec{j} - 11\vec{k}$$ Podemos simplificar el vector normal dividiendo por $-11$ para trabajar con valores más cómodos: $$\vec{n}_1 = (1, 1, 1)$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial $\vec{u} \times \vec{v}$ genera un vector perpendicular a ambos vectores originales, que es precisamente lo que define la normal de un plano.

Utilizamos el vector normal $\vec{n}_1 = (1, 1, 1)$ y el punto $O(0, 0, 0)$ que pertenece al plano. La ecuación general de un plano es $Ax + By + Cz + D = 0$. Sustituimos las componentes del vector normal: $$1x + 1y + 1z + D = 0 \implies x + y + z + D = 0$$ Como el plano pasa por el origen $O(0,0,0)$, sustituimos sus coordenadas para hallar $D$: $$0 + 0 + 0 + D = 0 \implies D = 0$$ ✅ **Resultado (Ecuación de $\pi_1$):** $$\boxed{x + y + z = 0}$$

**b) Encuentre la distancia del punto medio de A y O a $\pi_2$. (1,25 puntos)** Primero calculamos las coordenadas del punto medio $M$ entre $A(1, 2, -3)$ y $O(0, 0, 0)$ usando la fórmula del punto medio: $$M = \left( \frac{x_A + x_O}{2}, \frac{y_A + y_O}{2}, \frac{z_A + z_O}{2} \right)$$ Sustituimos los valores: $$M = \left( \frac{1 + 0}{2}, \frac{2 + 0}{2}, \frac{-3 + 0}{2} \right) = \left( \frac{1}{2}, 1, -\frac{3}{2} \right)$$ 💡 **Tip:** El punto medio es simplemente la media aritmética de las coordenadas de los extremos.

Para hallar la distancia del punto $M\left(\frac{1}{2}, 1, -\frac{3}{2}\right)$ al plano $\pi_2 : 3x - 5y + 2z - 11 = 0$, utilizamos la fórmula: $$d(M, \pi_2) = \frac{|Ax_M + By_M + Cz_M + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Sustituimos los coeficientes del plano $(3, -5, 2, -11)$ y las coordenadas del punto: $$d(M, \pi_2) = \frac{|3(\frac{1}{2}) - 5(1) + 2(-\frac{3}{2}) - 11|}{\sqrt{3^2 + (-5)^2 + 2^2}}$$ Operamos en el numerador y denominador: $$d(M, \pi_2) = \frac{|1,5 - 5 - 3 - 11|}{\sqrt{9 + 25 + 4}} = \frac{|-17,5|}{\sqrt{38}} = \frac{17,5}{\sqrt{38}}$$ Para dar un resultado más elegante, podemos escribir $17,5$ como $\frac{35}{2}$: $$d(M, \pi_2) = \frac{35}{2\sqrt{38}} \text{ unidades}$$ ✅ **Resultado (Distancia):** $$\boxed{d(M, \pi_2) = \frac{35}{2\sqrt{38}} \approx 2,839 \text{ u}}$$