Discusión y resolución de un sistema homogéneo con parámetro

**a) Estudie para qué valores del número real $a$, la única solución del sistema es la nula. (1,5 puntos)** El sistema propuesto es un **sistema homogéneo**, ya que todos los términos independientes son cero. Un sistema homogéneo siempre es compatible, pues admite al menos la solución trivial o nula $(x, y, z) = (0, 0, 0)$. Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, para que la única solución sea la nula (sistema compatible determinado), el rango de la matriz de coeficientes $A$ debe ser igual al número de incógnitas ($n=3$). Esto ocurre si y solo si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero: $$|A| \neq 0$$ Definimos la matriz de coeficientes $A$: $$A = \begin{pmatrix} 3a+5 & 7 & 12 \\ 2a+3 & 3 & 6 \\ 3a+4 & 2 & 6 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** En sistemas homogéneos $AX=0$, si $|A| \neq 0$ la única solución es la trivial. Si $|A| = 0$, existen infinitas soluciones.

Calculamos el determinante de $A$ aplicando propiedades para simplificar los cálculos. Primero, observamos que en la tercera columna podemos extraer el factor común $6$: $$|A| = \begin{vmatrix} 3a+5 & 7 & 12 \\ 2a+3 & 3 & 6 \\ 3a+4 & 2 & 6 \end{vmatrix} = 6 \cdot \begin{vmatrix} 3a+5 & 7 & 2 \\ 2a+3 & 3 & 1 \\ 3a+4 & 2 & 1 \end{vmatrix}$$ Ahora realizamos operaciones elementales entre filas para obtener ceros en la tercera columna: 1. $F_2 - F_3 \to F_2$: $(2a+3)-(3a+4) = -a-1$; $3-2=1$; $1-1=0$. 2. $F_1 - 2F_3 \to F_1$: $(3a+5)-2(3a+4) = 3a+5-6a-8 = -3a-3$; $7-2(2)=3$; $2-2(1)=0$. $$|A| = 6 \cdot \begin{vmatrix} -3a-3 & 3 & 0 \\ -a-1 & 1 & 0 \\ 3a+4 & 2 & 1 \end{vmatrix}$$ Observamos la primera y segunda fila. Si extraemos factor $3$ de la primera fila: $$F_1 = (-3a-3, 3, 0) = 3 \cdot (-a-1, 1, 0) = 3 \cdot F_2$$ Como la primera fila es proporcional a la segunda ($F_1 = 3F_2$), el determinante es nulo para cualquier valor de $a$. $$\boxed{|A| = 0 \quad \forall a \in \mathbb{R}}$$

Dado que el determinante de la matriz de coeficientes es siempre cero ($|A| = 0$) independientemente del valor de $a$, el rango de la matriz $A$ siempre será menor que $3$. Esto implica que el sistema es **Compatible Indeterminado** para cualquier valor de $a$, lo que significa que siempre tendrá infinitas soluciones además de la solución nula. Por lo tanto, no existe ningún valor de $a$ para el cual la única solución sea la nula. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No existe ningún valor de } a \in \mathbb{R} \text{ para el cual la única solución sea la nula}}$$

**b) Resuélvalo, si es posible, en el caso $a = -1$. (1 punto)** Sustituimos $a = -1$ en el sistema: $$\begin{cases} (3(-1)+5)x + 7y + 12z = 0 \\ (2(-1)+3)x + 3y + 6z = 0 \\ (3(-1)+4)x + 2y + 6z = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 2x + 7y + 12z = 0 \\ x + 3y + 6z = 0 \\ x + 2y + 6z = 0 \end{cases}$$ Determinamos el rango de la matriz de coeficientes para $a = -1$: $$A = \begin{pmatrix} 2 & 7 & 12 \\ 1 & 3 & 6 \\ 1 & 2 & 6 \end{pmatrix}$$ Sabemos que $|A|=0$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2 - 3 = -1 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ Como el rango es 2, el sistema es equivalente a usar las dos últimas ecuaciones (que son linealmente independientes) y tratar a $z$ como un parámetro ($z = \lambda$): $$\begin{cases} x + 3y = -6\lambda \\ x + 2y = -6\lambda \end{cases}$$ Restando ambas ecuaciones ($F_1 - F_2$): $$(x - x) + (3y - 2y) = -6\lambda - (-6\lambda) \implies y = 0$$ Sustituyendo $y = 0$ en la segunda ecuación: $$x + 2(0) = -6\lambda \implies x = -6\lambda$$ 💡 **Tip:** Al resolver sistemas indeterminados, asigna una variable como parámetro (ej. $z=\lambda$) y resuelve las demás en función de esta. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{cases} x = -6\lambda \\ y = 0 \\ z = \lambda \end{cases} \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$