Área de una función trigonométrica

Para calcular el área del recinto, primero debemos identificar las funciones y comprobar si se cortan dentro del intervalo dado $[-\pi, \pi]$. Las funciones son: - $f(x) = 1 + \cos x$ - $g(x) = 0$ (el eje $X$) Buscamos los puntos de corte igualando ambas funciones: $$1 + \cos x = 0 \implies \cos x = -1$$ En el intervalo $[-\pi, \pi]$, el coseno vale $-1$ únicamente en los extremos: $$x = -\pi \quad \text{y} \quad x = \pi$$ Como no hay puntos de corte en el interior del intervalo, la función $f(x)$ no cambia de signo respecto a $g(x)$ en $(-\pi, \pi)$. Además, sabemos que $-1 \le \cos x \le 1$, por lo que: $$1 + \cos x \ge 0 \quad \text{para todo } x \in \mathbb{R}$$ Esto significa que la curva siempre está por encima o toca al eje $X$. 💡 **Tip:** Cuando calculamos el área entre dos curvas, es fundamental comprobar si existen puntos de corte intermedios que dividan el recinto en varias regiones.

El área $A$ del recinto viene dada por la integral definida de la diferencia de las funciones (en valor absoluto) en el intervalo $[-\pi, \pi]$. Dado que $f(x) \ge g(x)$ en todo el intervalo: $$A = \int_{-\pi}^{\pi} (f(x) - g(x)) \, dx = \int_{-\pi}^{\pi} (1 + \cos x) \, dx$$ 💡 **Tip:** El área siempre es una magnitud positiva. Si la función estuviera por debajo del eje $X$, integraríamos $-f(x)$ o aplicaríamos el valor absoluto al resultado final.

Calculamos la integral indefinida de la función: $$\int (1 + \cos x) \, dx = \int 1 \, dx + \int \cos x \, dx$$ Aplicando las integrales inmediatas: - $\int 1 \, dx = x$ - $\int \cos x \, dx = \sin x$ Por tanto, la primitiva es: $$F(x) = x + \sin x$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada del seno es el coseno, por lo que la integral del coseno es el seno (sin cambio de signo).

Aplicamos la **Regla de Barrow** para evaluar la integral definida en los límites $[-\pi, \pi]$: $$A = [x + \sin x]_{-\pi}^{\pi}$$ Evaluamos en el límite superior e inferior: $$A = (\pi + \sin \pi) - (-\pi + \sin(-\pi))$$ Sabemos que $\sin \pi = 0$ y $\sin(-\pi) = 0$, por lo tanto: $$A = (\pi + 0) - (-\pi + 0) = \pi + \pi = 2\pi$$ El área obtenida es de $2\pi$ unidades cuadradas. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = 2\pi \text{ u}^2}$$ 💡 **Tip:** La regla de Barrow establece que $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$, donde $F(x)$ es una primitiva de $f(x)$.