Estudio completo y representación de una función racional

**a) Halle los intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus extremos relativos. (1 punto)** Primero, identificamos el dominio de la función. Al ser una función racional, el dominio son todos los números reales excepto aquellos que anulan el denominador: $$x^2 = 0 \implies x = 0$$ Por tanto, $Dom(f) = \mathbb{R} \setminus \{0\}$. Para estudiar el crecimiento, calculamos la derivada $f'(x)$. Podemos simplificar la expresión de la función antes de derivar para facilitar el cálculo: $$f(x) = \frac{x^3}{x^2} + \frac{3x^2}{x^2} - \frac{4}{x^2} = x + 3 - 4x^{-2}$$ Derivamos término a término: $$f'(x) = 1 + 0 - 4(-2)x^{-3} = 1 + \frac{8}{x^3} = \frac{x^3 + 8}{x^3}$$ 💡 **Tip:** Si no simplificas, puedes usar la regla del cociente: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. El resultado simplificado será el mismo.

Buscamos los puntos críticos donde $f'(x) = 0$: $$\frac{x^3 + 8}{x^3} = 0 \implies x^3 + 8 = 0 \implies x^3 = -8 \implies x = \sqrt[3]{-8} = -2$$ Además, debemos tener en cuenta el punto de discontinuidad $x = 0$ para dividir la recta real en intervalos. Analizamos el signo de $f'(x)$ en cada intervalo: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, -2) & -2 & (-2, 0) & 0 & (0, +\infty) \\\hline x^3 + 8 & - & 0 & + & + & + \\ x^3 & - & - & - & 0 & + \\\hline f'(x) & + & 0 & - & \nexists & + \\ \text{Monotonía} & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow & & \nearrow \end{array}$$ **Intervalos de crecimiento y decrecimiento:** - Crecimiento: $(-\infty, -2) \cup (0, +\infty)$ - Decrecimiento: $(-2, 0)$ ✅ **Resultado (Monotonía):** $$\boxed{\text{Creciente en } (-\infty, -2) \cup (0, +\infty) \text{ y decreciente en } (-2, 0)}$$

A partir de la tabla anterior, observamos que en $x = -2$ la función pasa de crecer a decrecer, por lo que existe un **máximo relativo**. Calculamos su ordenada sustituyendo en $f(x)$: $$f(-2) = \frac{(-2)^3 + 3(-2)^2 - 4}{(-2)^2} = \frac{-8 + 12 - 4}{4} = \frac{0}{4} = 0$$ En $x = 0$ hay una discontinuidad, por lo que no puede haber un extremo relativo allí. ✅ **Resultado (Extremos):** $$\boxed{\text{Máximo relativo en } (-2, 0)}$$

**b) Determine sus asíntotas. (1 punto)** **Asíntotas Verticales (A.V.):** Posible asíntota en el punto que no pertenece al dominio, $x = 0$. Calculamos el límite: $$\lim_{x \to 0} \frac{x^3 + 3x^2 - 4}{x^2} = \frac{-4}{0^+} = -\infty$$ Como el límite es infinito, existe una asíntota vertical en **$x = 0$** (el eje $Y$). 💡 **Tip:** Al ser un denominador elevado al cuadrado ($x^2$), el límite por ambos lados tenderá al mismo signo (en este caso, $-\infty$). ✅ **Resultado (A.V.):** $$\boxed{x = 0}$$

**Asíntotas Horizontales (A.H.):** $$\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3 + 3x^2 - 4}{x^2} = \pm\infty$$ No existen asíntotas horizontales porque el grado del numerador es mayor que el del denominador. **Asíntotas Oblicuas (A.O.):** Como el grado del numerador es exactamente uno más que el del denominador, existe una asíntota oblicua de la forma $y = mx + n$. Calculamos $m$: $$m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 + 3x^2 - 4}{x^3} = 1$$ Calculamos $n$: $$n = \lim_{x \to \infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^3 + 3x^2 - 4}{x^2} - x \right) = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 + 3x^2 - 4 - x^3}{x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - 4}{x^2} = 3$$ La asíntota oblicua es **$y = x + 3$**. ✅ **Resultado (A.O.):** $$\boxed{y = x + 3}$$

**c) Dibuje la gráfica de $y = f(x)$. (0,5 puntos)** Utilizando los datos obtenidos: 1. Dominio: $\mathbb{R} \setminus \{0\}$. 2. Máximo relativo en $(-2, 0)$. Este punto es también un punto de corte con el eje $X$. 3. Asíntota vertical en $x = 0$ (hacia $-\infty$). 4. Asíntota oblicua $y = x + 3$. 5. Otros puntos de corte: $f(x)=0 \implies x^3 + 3x^2 - 4 = 0$. Por Ruffini, vemos que $x=1$ es raíz: $1^3 + 3(1)^2 - 4 = 0$. Corte en $(1, 0)$. Representamos la función junto a sus asíntotas.