Área de un polígono en el espacio

**Busque el área del polígono de vértices $A(4,7,8)$, $B(2,3,4)$, $C(-1,-2,1)$ y $D(1,2,5)$.** Primero, determinamos los vectores que forman los lados del polígono para comprobar su geometría: $$\vec{AB} = B - A = (2-4, 3-7, 4-8) = (-2, -4, -4)$$ $$\vec{BC} = C - B = (-1-2, -2-3, 1-4) = (-3, -5, -3)$$ $$\vec{CD} = D - C = (1-(-1), 2-(-2), 5-1) = (2, 4, 4)$$ $$\vec{DA} = A - D = (4-1, 7-2, 8-5) = (3, 5, 3)$$ Observamos que $\vec{AB} = -\vec{CD}$ y $\vec{BC} = -\vec{DA}$. Esto significa que los lados opuestos son paralelos y tienen la misma longitud. Por tanto, el polígono es un **paralelogramo**. 💡 **Tip:** El área de un paralelogramo definido por dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ con origen común se calcula como el módulo de su producto vectorial: $\text{Área} = |\vec{u} \times \vec{v}|$.

Para hallar el área, utilizaremos los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AD}$ que parten del vértice $A$. Ya conocemos $\vec{AB} = (-2, -4, -4)$. Calculamos ahora $\vec{AD}$: $$\vec{AD} = D - A = (1-4, 2-7, 5-8) = (-3, -5, -3)$$ Ahora realizamos el producto vectorial $\vec{w} = \vec{AB} \times \vec{AD}$ mediante el desarrollo del determinante por la primera fila: $$\vec{AB} \times \vec{AD} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & -4 & -4 \\ -3 & -5 & -3 \end{vmatrix}$$ Resolviendo por adjuntos: $$\vec{w} = \vec{i} \begin{vmatrix} -4 & -4 \\ -5 & -3 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} -2 & -4 \\ -3 & -3 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} -2 & -4 \\ -3 & -5 \end{vmatrix}$$ Calculamos cada determinante $2 \times 2$: $$\vec{w} = \vec{i} [(-4)(-3) - (-4)(-5)] - \vec{j} [(-2)(-3) - (-4)(-3)] + \vec{k} [(-2)(-5) - (-4)(-3)]$$ $$\vec{w} = \vec{i} (12 - 20) - \vec{j} (6 - 12) + \vec{k} (10 - 12)$$ $$\vec{w} = -8\vec{i} + 6\vec{j} - 2\vec{k}$$ El vector resultante es **$\vec{w} = (-8, 6, -2)$**. 💡 **Tip:** Recuerda que en el determinante del producto vectorial, el término en $\vec{j}$ lleva un signo negativo por su posición.

El área del polígono es el módulo del vector obtenido en el paso anterior: $$\text{Área} = |\vec{AB} \times \vec{AD}| = \sqrt{(-8)^2 + 6^2 + (-2)^2}$$ Operamos los cuadrados: $$\text{Área} = \sqrt{64 + 36 + 4} = \sqrt{104}$$ Podemos simplificar el radical factorizando el número $104 = 4 \cdot 26$: $$\text{Área} = \sqrt{4 \cdot 26} = 2\sqrt{26} \approx 10.198 \text{ unidades}^2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = 2\sqrt{26} \text{ u}^2}$$